重心

概要

三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを中線という。

三角形の 本の中線は 点で交わり、その点を重心という。また、重心は中線を に内分する（下で証明）。

例

下図の点 は の重心である。 の面積が のとき、 の面積を求めよ。

は重心なので、 は線分 の中点である。よって、

さらに、 は線分 を に内分するから、

と求められる。

証明

三角形の つの中線が一点で交わる（つまり重心が存在する）証明は、例えば古賀真輝さんの動画や、AKITOさんの動画がオススメ。ここでは、重心が各中線を に内分することを示す。

から と平行な直線を引き、 との交点を とおく。

で中点連結定理の逆を用いて、

いま、重心の定義から

なので、代入して

が成り立つ。ここで平行線と線分比の性質から

が示される。他の中線の線分比についても同様に示される。

メネラウスの定理を使っても示せるので、興味のある方はやってみよう！わからない方は、AKITOさんの動画を見てみよう。