中線定理

概要

どんな三角形 においても、辺 の中点を点 としたとき、以下の関係が成り立つ。

これを中線定理という。

証明

において、辺 の中点を とし、 とすると、 となる。

において、余弦定理より、

において、余弦定理より、

ここで、以下の式

が成り立つので（2つ目は180°関係の辞書を参照）、 は

と表される。よって、 と を両辺足すと、

となる。

補足

どの辺を足すかや 倍するかどうかを思い出せない場合は、一辺が の正三角形などの簡単な図形で、実際にそれぞれの辺の長さを出して計算してみると、合っているかがわかる。

なお、実は中点じゃないバージョンに拡張したスチュワートの定理というものもあるので、興味のある方はMathkaratさんの動画を参照！