>━━━━━━━━━━━━━━━━<
動画まとめシートを配布中!
《 林俊介の公式LINE 》
>━━━━━━━━━━━━━━━━<
この YouTube チャンネルに対応した
LINE 公式アカウントを開設しました!
✅ 大学・年度別に動画をまとめたシートを配布
✅ 登録者限定のライブ・イベントもご案内予定
✅ 勉強や進路に関するコラムや動画も配信予定
【登録はこちら】(無料です)
https://lin.ee/lI7n1SJ
トップを目指す受験生のために,国公立大学の入試問題を中心に,大学入試の数学を解説中!ぜひチャンネル登録お願いします。
1998年の東大理系数学より,図形と数列・整数の融合問題をピックアップ。
たくさんの円が直線や他の円と接しており,それらの円の半径や接点の座標を数列とみなしています。
(1) で数列 qn の漸化式を求めますが,まずそこがやや難しいです。
中学の幾何で学習している人にとっては簡単かもしれませんが,そうでない人は「接している」という条件の数式化に苦労することでしょう。
(2) では数列 pn の漸化式を求めますが,これも難易度が高いです。
図形のどの部分に着目すれば漸化式を立てられるのか,見通しが立てづらいですからね。
(3) では,α という値からのズレの絶対値を上から評価して,xn の n → ∞ での極限が α であることを示します。
この極限の求め方は,難関大入試に頻出なので覚えておくとよいでしょう。
いわゆる Fibonacci 数列が複数登場するのが興味深いですね。
今回極限を求めた xn は,いわば「 Fibonacci 数列の隣りあう 2 項の比」で,それは黄金比(の逆数)に収束します。
様々な分野の融合問題になっているという意味でも,黄金比が登場するという意味でも,実によくできた問題だと感じます。
----------
<Twitter: @884_96>
https://twitter.com/884_96
----------
【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
----------
<お仕事のご依頼>
チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします!
----------
<目次>
00:00 1998年 東大 理系数学 [3]
01:56 問題のセッティング
03:49 (1) qn の漸化式を求める
11:20 (1) qn の漸化式からいえること
12:06 (1) の解法のまとめ
14:14 (2) (1) で考えたこと
15:34 (2) 内分比に着目
17:28 (2) pn の漸化式を求める
20:26 (2) pn の漸化式からいえること
20:55 (2) qn と pn の項をいくつか求める
23:05 (2) Euclid の互除法を利用
25:25 (2) の解法のまとめ
28:34 (3) |xn+1 - α| と |xn - α| の関係
32:18 (3) 2/3 で上から評価 (不等式の証明)
37:09 (3) 不等式を繰り返し用いる
39:03 (3) の解法のまとめ
40:17 補足:FIbonacci 数列
41:02 おわりに