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2017年の京大文系数学 [4] より,tan の加法定理と整数問題の融合です。
(1) は簡単ですが,(2) で少々手こずるかもしれませんね。
イメージ的には,q が大きすぎると β が小さすぎて tan(α+2β) = 2 とならない,ということなのですが......
それをどう数式に言い換えるかがポイントです。
★補足
同年度の理系数学 [3] は,この問題の誘導を省いたもので,次のような問題です。
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[3]
p, q を自然数,α, β を
tanα = 1/p, tanβ = 1/q
を満たす実数とする。このとき,
tan(α+2β) = 2
を満たす p, q の組 (p, q) をすべて求めよ。
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 2017年 京大 文系数学 [4]
00:48 解説①:(1) 加法定理で tan(α+2β) を計算
04:33 解説②:(1) 式を整理 → q = 2, 3 で p を計算
06:26 解説③:(2) p を q で表し,分解
08:20 解説④:(2) p が 1 より小さくなる q の条件を考える
09:14 解説⑤:q ≥ 7 は NG → q = 4, 5, 6 を調べる。
11:06 まとめ:tan の加法定理& q が大きすぎるとダメ
12:45 おわりに