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2001年の京大理系数学より,軌跡の問題をピックアップしました。
C: y = x^3 というグラフの点 P における接線を, P を中心に反時計回りに 45º 回転してできた直線を L としたときに, C と L が相異なる 3 点で交わるような点 P の範囲が問われています。
P(p, p^3) として,回転後の直線 L の方程式を p を用いて表すというのがシンプルな発想で,それと y = x^3 を連立し,その x の 3 次方程式が相異なる 3 実解をもつような p の条件を考えれば OK です。
点 P を中心に接線を回転しているので,その 3 次方程式は必ず x = p を解にもつ,ということに注意しましょう。
なおこの問題では,答えを予想して,その必要性と十分性を示すという解法もありです。
どんな問題でも使えるというわけではありませんが,「どうしてその答えを思いついたのか」の説明が全く要らないので,ちゃんと証明できるのであれば強力な方法です。
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<Twitter: @884_96>
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 2001年 京大 理系数学 [1]
00:43 問題文の条件のイメージ
06:53 回転後の直線の方程式
14:10 条件の言い換え (3 実解)
17:07 f(x) = 0 に関する 2 つの条件
25:58 答えの図示
27:19 解法のまとめ
29:50 別解: 答えを予想してしまう
36:28 学習者へのアドバイス
37:28 おわりに