判別式

概要

ここは、二次関数の大きな山場。試験にもどっさり出る。

二次方程式

の実数解の個数というのは、 判別式

の符号と対応する：

• ：異なる つの実数解
• ： つの実数解（重解）
• ：実数解は無い

ちなみに重解がくせ者で、解の値は1つなんだけれども、値の等しい解が重なっていると考えて、2つの実数解と考える場合もある。

でも 「異なる2つの実数解」 と問題で指示されたら、重解は含まれない。

「判別式 」という、ゲーセンにありそうなかっこいい名前がついているが、要するに 解の公式のルートの中身だということを理解しておけば、実数解の個数と対応する理由が理解できて、覚える負担が減る。

また、二次関数

のグラフと 軸との共有点の 座標は、上の二次方程式

の実数解と一致するので、 判別式

の符号によって 軸との共有点の個数がわかる。

• ： 軸と異なる つの共有点
• ： 軸とただ つの共有点（ 軸と接する）
• ： 軸と共有点を持たない

（実際の共有点の 座標については、二次方程式を解かないとわからない）

とにかく、二次関数のグラフの交点も、二次方程式の実数解の個数も、判別式で考えられるよ！ というお話。

とか とかという親戚もいるが、これは判別式

のこと。上の を で割った値になる。 が偶数のときに計算を楽するためのもので、 として使う。 と値は一致しないが、符号は一致するので、これで考えていくことができる。

例

【問】 は異なる実数解を何個持つか？（方程式の問題）

【答】判別式 の符号を考えると、

より正となるので、異なる実数解を つ持つ。

【問】二次関数 は 軸と交わるか？（グラフの問題）

【答】二次方程式 を考えて、この判別式 の符号を考えると、

より負となるので、 軸とは交わらない。

補足

とか とかについて軽く上で触れたが、これは「私、楽をしましたバージョン」の解の公式から来ていて、つまり

のルートの中身を表している。