運動量保存則

概要

一般に、質量 の つの物体 が互いに力を及ぼし合いながら運動するとき、 の間に及ぼしあう力（これを内力という）以外に、 に対して外からはたらく力の力積が のとき、 がどんな運動をしようとも、 つの物体の運動量の総和は一定に保たれる。赤い糸で結ばれているイメージ。

式で表すと、時刻 にそれぞれ速度 で運動していたとして、力を及ぼし合いながら時刻 には、速度 で運動していたとすると、

が成立する。これを運動量保存則という。ベクトルが出てきて、じんましんができる方も多いと思うが、導出や使い方が大事なので、このあとゆっくり確認しよう。

初めにちょっと退屈な、でも正確な理解には欠かせない用語の話をしよう。このように物体をまとめて考えるときに、まとめたものを物体系といい、物体系の内部で及ぼしあう力を内力、物体系の外から物体系の中の物体にはたらく力を外力という。

物体系の取り方は自分次第であり、何を物体系と見るかによって、ある力が内力なのか外力なのかが決まる。例えば上の を物体系として考えると、 にはたらく重力は外力になるが、地球と をまとめて物体系と見れば、 にはたらく重力は内力になる。

上の運動量保存則の式で「あれ？でも重力はたらくから外力の力積は じゃなくない？」と思った方もいるかもしれない。

上の例では仮想的な一般例を考えたものの、実際問題では、確かに に重力がはたらくので、 をまとめて物体系と見たとき、運動量保存則は基本的に成り立たない（もちろん、面の上を動いていて、垂直抗力と重力の合力が になれば成り立つ）。

どうしてくれるんだ？という気持ちになるが、実はこの運動量保存則はベクトルの式（運動量がベクトル量であることに注意！）なので、成分ごとに考えることができ、運動量保存則が成り立つかどうか、つまり外力の力積が かどうかの判定を成分ごとに行う。

つまり、鉛直方向には確かに外力である重力の力積が存在するが、一方で水平方向には内力しかはたらいていないので、水平方向では運動量保存則が成り立つ。水平方向に 軸をとると、

が成り立つ。

例

【問】滑らかな水平面の床の上に、質量 の小球と滑らかな曲面を持つ質量 の台が静止しており、質量 の小球に初速 を与えると、小球は曲面を上り、台は動き出した。小球が台上の最高点に達したとき、台の速さはいくらか。

【答】小球にはたらく力は、重力と台からの垂直抗力のみ。台にはたらく力は、重力と小球からの垂直抗力と床からの垂直抗力のみ。（まずはしっかり力を把握！！）

小球と台を1つの物体系と考えると、水平方向には小球と物体間の垂直抗力しかはたらいておらず、それは内力である。

よって、小球と台の水平方向の運動量の和は保存する。小球が台上の最高点に達したときの、小球および台の速さを とおくと、

と求められる。イメージでこの答えが合ってそうかを確認すると、確かに、 が より果てしなく大きいときは に近づく、つまり台は全然動かない。逆に が より果てしなく小さいときは に近づく、つまり台は動きまくる、ということになり、確かにイメージと一致することがわかる。

このように 「極端なケースを考えて、答えが合ってそうか確認する」 のは、物理の問題でとても役に立つので、オススメ。

あと、斜面が急であっても緩やかであっても上の議論は変わらないというのが、隠れおもしろポイント。

導出

まずは力が時間によらず一定の場合を考えてみよう （基礎編）。

質量 の つの物体 が互いに力を及ぼし合いながら、それぞれ速度 で運動していたとする。時間 の間、力を及ぼし合いながら運動し、それぞれ速度 になったとする。

このとき、 が から受ける力を とすると、作用反作用の法則から、 が から受ける力は となる。

そこで、それぞれの物体について、運動量変化と力積の関係より、

となるので、両辺足すと、

となって、運動量保存則の式が導かれる。

では発展編として、力が一定ではない場合を考える（上の基礎編で理解しておけば、理工系に進まない限り十分に生きていけるはずなので、飛ばしてもらっても問題はないです）。よくわからない！ という方は、化学好きな東工大生・かずきさんの動画がオススメ。

時間 は、時刻 から までとする。

ベクトルのまま計算すると、積分などがややこしく見えるので、まず 成分で議論していく（ここでは平面上の運動を考えるが、空間でも同様）。 が から受ける力の成分を

とおく（各成分は の関数であることに注意）。このとき、 が から受ける力 は、

となる。さらに、速度の 成分をそれぞれ 、、、 とすると、それぞれの物体について、運動量変化と力積の関係の 成分から、

となる。両辺足すと、

となり、運動量保存則の 成分が示される。

成分についても同様にして、

が示されるので、ベクトルの形にまとめて

が成り立つ。

補足

運動量保存則は実は物体が つ以上あっても成り立つので、興味のある方は考えてみよう。示し方は上と全く同じで、及ぼしあう力積がどんどん消去できるイメージ。

余談になるが、問題を解く上で運動量保存則をはじめとする保存則を用いるメリットは何だろうか？それは、 つの時点の状態だけを考えて、物理量が求められるということ。

今回の例題のように、物体にはたらく水平方向の力が刻一刻と変わり、運動方程式から位置や速度などを時間の関数として完璧に求めるのが難しい運動でも、保存則を用いれば、ある時点での位置や速度の情報が求められるというのが、保存則のすごいところ！