ケプラーの法則

概要

一度聞いたら忘れない名前でおなじみのケプラーは、望遠鏡のない時代に天体観測を長年精密に行ったティコ・ブラーエの助手であり、その観測資料を整理していく中で惑星が楕円運動をしていることを発見し、次のケプラーの法則を得た。

第一法則：惑星は、太陽を一つの焦点とする楕円上を運動する

第二法則：惑星と太陽を結ぶ線分（動径）が一定時間に通過する面積（面積速度）は一定

第三法則：惑星の公転周期 の2乗と軌道の楕円の長半径（長軸の半分） の3乗の比は、全ての惑星で一定になる。

は惑星によらない定数。

大事なのは、対象が何かということで、

• 第一法則はそれぞれの惑星についての法則
• 第二法則はそれぞれの惑星について、その面積速度が一定になるという法則（異なる惑星の面積速度とは基本的に異なる）
• 第三法則は同じ中心天体を回る異なる惑星の間で、その比が同じになるという法則

と頭を整理しておこう。

また、問題を解く上で、惑星は基本的に円運動ではないので、運動方程式で考えていくのは厳しい（高校範囲では）。これらのケプラーの法則と、運動エネルギーや万有引力による位置エネルギーを用いたエネルギー保存則を立てて、解いていくことが多い。

面積速度

第二法則の「面積速度」の求め方について。問題でも問われることが多く、単位時間あたりの通過する面積、というイメージをしっかりと理解しておこう。

結論としては、軌道中のある点における面積速度は、太陽と惑星を結ぶ線分の長さを 、惑星の速度の大きさを 、線分と速度がなす角を とすると、

と表される。これは、下の図の三角形の面積として理解できる。

導出としては、微小時間 の間に惑星と太陽を結ぶ線分が通過する面積を とすると、 が十分に小さいとき、 は三角形の面積に近似でき

となる。よって、面積速度は

と求められる。

補足

その後ニュートンによって、ケプラーの法則から万有引力が導かれた。その意味でもケプラーの法則が物理界に与えた影響は計り知れない。

ちなみに、万有引力による太陽の周りの惑星の運動に限らず、物体が常にある一点に向かって力を受けて運動している（このような力を中心力という）とき、面積速度一定の法則（ケプラーの第二法則）は成立する。