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2015年の京大文系数学 [5] より,整式と整数の融合問題をピックアップ。
2 次式 f(x) と 1 次式 g(x) があり,任意の正の整数 n に対して f(x)/g(x) が整数になるとき,そもそも f(x) が g(x) で割り切れる,という事実を証明します。
感覚的には当たり前なのですが,それをどう数学的に表現するかが悩ましいところですね。
もし f(x) を g(x) で割ったときに余りがあったら,x に大きい正の整数 n を代入したときに,その余りの項の絶対値がかなり小さくなってしまいます。
そうすると,f(n)/g(n) が整数になりにくくなってしまうわけですね。
そこで,f(x)/g(x) のうち余りの項のみに着目したいので,それ以外を消していきます。
f(x) を g(x) で割った商を Ax + B, 余りを C とすると,x = n, n + 1 で考えて差をとることで B を消すことができます。
A は残ってしまいますが,もう一度差をとることで A も消せるのがポイントです。
C だけが残ったら,あとは n が十分大きいときを考えれば題意がしたがいます。
★訂正: 24:01 で書いている N は KMN の誤りです。ご指摘くださった方,ありがとうございます!
★補足:分母の g(x) が 0 になる可能性について言及すべきでした。今回の場合,d, e が正の有理数であり,n も正の有理数の範囲で考えているため,f(n)/g(n) の分母が 0 になることはありません。
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<Twitter: @884_96>
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 2015年 京大 文系数学 [5]
00:39 f(x)/g(x) の割り算を実行すると...
04:43 解法① 商と余りを文字でおく
05:58 解法① 方針:C/g(x) がカギ
09:11 解法① C/g(x) を残す
14:51 解法① C の項の絶対値を小さくする
18:22 解法① のまとめ
21:37 解法② 係数を分数で表現
22:56 解法② KMR/g(n) がカギ
25:10 解法② 解法のまとめ
27:26 おわりに