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1999年の京大入試より,不等式の証明問題をピックアップ。
(1) を用いて (2) を証明するという流れになっています。
(1) は,両辺の分母を払って(または通分して)左辺と右辺の差を考えれば,苦労せずに証明することができます。
東大・京大レベルの受験生であれば必ず正解したい問題ですね。
(2) は,式の形を見るといかにも (1) を使いそうだと気づくわけですが,具体的にどう使うかが頭の使いどころです。
(1) の式を見ると,a どうし,b どうしが分母・分子で揃っている方が分数の和は小さいということがいえますね。それを x1, x2, ..., xn にも適用します。
x1, x2, ..., xn は「 1, 2, ..., n の並び替え」になっているわけですが,xk の添字と xk の値自体の大小関係が重要というわけです。
(1) の不等式を使うことで,x1 = 1, x2 = 2, ..., xn = n という「添字と値が揃った状態」が,和の値を最小にするということがしたがいます。
それが導けたら,あとは 1/(n^2 + 1) の和が n - 8/5 より大きいことを証明すれば OK です。
部分分数分解や積分による評価を用いて証明しましょう。
大学入試というよりは,数学オリンピック的な雰囲気もちょっとある問題でした。
▶︎ (1) の不等式を (2) でいかに使うか
▶︎ 1/(n^2 + 1) の和が n - 8/5 より大きいことをいかに示すか
が山場で,なかなか難しい問題だと思います。
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<Twitter: @884_96>
https://twitter.com/884_96
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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00:00 1999年 京大 理系数学 [3]
00:44 (1) 分母を払って差をとる
03:26 (1) 解法のまとめ
04:25 (2) (1) の不等式の意味するところ
06:53 (2) (1) をいかに使うか
13:51 (2) 入れ替えたい組の定義
15:34 (2) 入れ替え操作と不等式の関係
17:38 (2) 有限回の操作で xk = k となる
19:30 (2) Tn の不等式の言い換え
22:05 (2) Un の不等式の証明
26:50 (2) 解法のまとめ
30:30 (2) 別解:面積で評価する方法
35:04 (2) Un の n → +∞ での極限
37:35 おわりに