部分分数分解

概要

部分分数分解は、分母が互いに素な多項式の積で表される分数式に対して、分解を行うこと。 不慣れであったり、知らなかったりするとなかなか思いつくものではない。また、なめらかな滑舌が求められる。「BBB」と略す人もいる。

大学受験において頻出であるのは以下の形であり、 分母が多項式の形であれば連想できるようになっておきたい。形を作って、係数は最後に調整すればOK。

例えば などの式変形が挙げられる。

例

このような式変形は分数式の和を求める際に使える。

例えば、 のようになる。 を境に、正の項も負の項も出現し、打ち消しあい、結局残るのは最初の方の項の一部と最後の方の項の一部に出来る。

なお、理系範囲（数学III）となるが、積分において活用を求められるケースがある。分母が多項式であれば、部分分数の利用を疑ってみよう。

そうすれば、分母の次数を下げられて、 関数分の導関数の形や、下のように 分の の形の積分の形に持ち込むことができる。

補足

分母が3つの掛け算になっていても、このように2個と2個に分けて部分分数分解をすることで、シグマ計算が楽になることがある。

を用いると（1個ズレたものを引いているがポイント、右辺を通分して確認しよう）

とスムーズに計算できる。