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2016年の京大理系数学より,二次方程式の複素数解に関する問題をピックアップしました。
複素数係数の 2 次式 f(x) = x^2 + ax + b について
(イ) f(x^3) が f(x) で割り切れる
(ロ) a, b の少なくとも一方は虚数(実数でない)
が成り立っているときに,f(x) として考えられるものを全て求めるというものです。
条件 (ロ) は,係数の片方が実数でないということしか述べていないので,かなり弱い条件です。
まずは (イ) を使うことになります。
f(x^3) が f(x) で割り切れるということから,2 次方程式 f(x) = 0 の解の 3 乗もまた f(x) = 0 の解になっていることに気づけるかどうかが最初の山場です。
言われてみれば当たり前なのですが,案外見落としやすいように思います。
解の 3 乗も解になっていることがわかったら,あとはもとの解と 3 乗した解の対応づけによって場合分けし,f(x) を求めていくだけです。
途中からはパズルのような問題になるので,解いていて楽しいかもしれませんね。
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<Twitter: @884_96>
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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00:00 2016年 京大 理系数学 [6]
00:44 条件 (イ) からいえること
05:28 解の対応づけで場合分け
07:17 [1] f(x) = 0 が重解をもつとき
10:05 [2] f(x) = 0 が重解をもたないとき
13:43 [2-1] α^3 = α, β^3 = β のとき
15:35 [2-2] α^3 = β, β^3 = α のとき
27:52 [2-3} α^3 = α, β^3 = α のとき
33:36 答えと解法のまとめ
37:19 学習上のアドバイス
38:07 宿題:割り算を実行する方法
39:15 おわりに