底の変換公式

概要

ある対数 に対して、自分で好きな底 を取ってきて、底 を使って下の通り対数を書き換えることを、 底の変換公式という。

例

上の例は底を で揃えてみた。下は、 が でない正の数として求めてみよう。

と底を に揃えてみると、スッキリ求まる（ や を底として整理しても同様にスッキリする）。

証明

対数の計算公式

のうち、3つ目を使って示す。

いま、 対数の定義「、 として を満たす実数 が 」 より、

が成り立つ（、）。この両辺の、底を とする対数をとると、

より なので、両辺を で割って、

となる。

補足

は でも でも自由に取れるが、 底の条件として 、 を満たさないといけないことに注意。