逆像法

概要

なかなか教科書や参考書で整理されていない考え方、 順像法と逆像法。数学上級者向けの知識だとみなされることもあるけれども、軌跡と領域の分野では、順像法と逆像法の違いを知っておくとスッキリ理解できる問題も多い。なので、ここでは下の例題を通じて逆像法の考え方を身につけよう。順像法については、こちらの「順像法」の辞書を参照。

逆像法はいろんな問題に応用できる。気になる方は、このように「okke」で検索して、逆像法が活躍する演習問題をまとめて確認しよう。

逆像法を理解できるようになると、 「あれ、俺いけてね？」「私、すごいじゃん」 と数学ができるようになった気がする。（残念ながら、錯覚である場合もときどきある）

例

【問】 を実数とするとき、以下の直線が通過する領域を求めよ。

【答】まずは状況を理解しよう。何を問われているかというと、 が実数の範囲で色々と動くと、こんな感じで無数のいろんな直線が生まれる。それらが通る水色の領域が、求めるものである。

つまり、 が決まると、その直線上にある が決まって、それらは領域に含まれるというイメージ。この対応を簡単に書くとこんな感じ。

これを逆像法では、 「求める領域内の点を勝手においてみて、対応する が存在するかどうか」 で話を進めていく。つまり、適当な点を考えて、その点を通る直線が存在するか（＝点の座標を直線の式に代入した時に実数 が存在するか）を考える。イメージとしては、

という感じで、もともとの対応と逆の方向に考えているので、 「逆像法」 と呼ばれる。（大学で写像の概念を学ぶと、スッキリ理解できる）

話を進めると、求める領域内の点を適当に とおいて、直線の式に代入した、

を満たす実数 が存在するような についての必要十分条件を求める。つまり、変形した についての二次方程式

が実数解を持つ条件を考えればよく、それは判別式より

であり、これが の条件となる。

もっと詳しくいうと、この式を満たせば実数 が存在する、つまり、この を通る直線が存在する（＝領域に含まれる）が、この式を満たしていないと、実数 が存在しない、つまり、この を通る直線は存在しない（＝領域に含まれない）こととなる。

最後に、 は勝手に取った点なので、一般的な に置き換えて、

が求める領域となる。これが逆像法の考え方。この同じ問題を順像法で解くとどうなるか、こちらの「順像法」の辞書で確認しよう。

補足

全てにおいて逆像法が最強なのではなくで、問題によっては順像法のほうがラクに解ける場合も多い。二つの考え方や違いを理解して、解きやすい方を選んでいくことが大切。

東京出版（大学への数学など）では、逆像法ではなく 「逆手流」 という言葉で読ばれており、逆手流への根強いファンも多い。