## 概要

シグマによる値の和の極限を、積分によって求めることができるというのが、区分求積法のすごいところである。

$$
\lim_{{n\to \infty }}{\frac{1}{n}}\sum_{k=1}^{n}f\left({\frac{k}{n}}\right)=\int_{0}^{1} f(x)dx
$$

同時に、式に圧倒されるランキングでも上位にくるが、これは式をまるごと覚えるよりも、 **左辺の式がなぜ右辺と等しくなるか**を**グラフで理解**した方が $1000$ 倍使えるので、下の例で確認する。

## 例

$$
\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)
$$

を求める。このような、$n$ 個の和の極限が聞かれていたら、区分求積法が怪しい。

まず、このような数列の和が出てきたら、$\displaystyle\frac{k}{n}$、つまり $\displaystyle\frac{1}{n}, \displaystyle\frac{2}{n},\cdots$ が作れないかと考える。そうすると、

$$
\begin{align}
&\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}+\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{n}{n}}\right)\\\\
=&\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right)
\end{align}
$$

と変形できる。ここで、$\displaystyle\frac{k}{n}$ の部分を $x$ に置き換えて、関数 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x}$ を考える。

そうすると、この値は、

$$
\begin{align}
=&\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{n}\right)\right)\\\\
=&\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n}f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n}f\left(\frac{n}{n}\right)\right)
\end{align}
$$

と書き換えられる。この極限の中身は何を表すかというと、下のグラフの**短冊状の面積の和**（黄色の部分）になる。

（$\because$ 短冊の横の長さが $\displaystyle\frac{1}{n}$ で縦の長さが $f\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)$、$f\left(\displaystyle\frac{2}{n}\right)$、$\cdots$、$f\left(\displaystyle\frac{n}{n}\right)$ であるため）

![](https://files.okedou.app/markdownx/2bf93d03-c290-470c-b42c-129a68bd3985.png)

そして、この値の極限（$n\to \infty$）とは、短冊の $x$ 軸上の範囲を $0$ 〜 $1$ で固定したまま、 **この短冊の幅をめちゃめちゃ細かくしていくこと**なので、 **赤の面積に近づいていく**。

この赤の面積こそが、区分求積法の右辺である、

$$
\int_0^1 f(x)dx
$$

になるのである。そしてめでたく計算ができて、

$$
\begin{align}
&\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx\\\\
=&\left[\log |1+x|\right]_0^1\\\\
=&\log 2
\end{align}
$$

最後は [$x$ 分の $1$ の積分](https://dic.okedou.app/words/x%E5%88%86%E3%81%AE1%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86)。

### 補足

左辺が以下の形（シグマの開始と終了が $1$ 少ない）でも、同じ変形ができる。

$$
\lim_{{n\to \infty }}{\frac{1}{n}}\sum_{k=0}^{n-1}f\left({\frac{k}{n}}\right)=\int_{0}^{1} f(x)dx
$$

この場合は、短冊の横の長さが $\displaystyle\frac{1}{n}$ で縦の長さが $f\left(\displaystyle\frac{0}{n}\right)$、$f\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)$、$\cdots$、$f\left(\displaystyle\frac{n-1}{n}\right)$ となるが、極限をとると、結局上と同じ面積を表していて、同じ積分の値になる。

区分求積法

概要

例

補足

タグ