楕円

概要

楕円とは、 2つの焦点からの距離の和が一定になるような点の集合と定義されるが、簡単にいうと、 円をにゅっと上下か左右に引き伸ばしたもの。

楕円の方程式も円の方程式と似ていて、

で表される。

楕円の形には大きく分けて 種類あり、縦長のバージョンと横長のバージョンがある。 を正の定数とすると、

縦長のバージョンは のときで、ともぞうの顔のような形。

横長のバージョンは のときで、カレーパンマンの顔のような形。

楕円上の接点 における接線の方程式は、

で表される。

証明

楕円の方程式の厳密な証明は、例えばAKITOさんの動画や、古賀真輝さんの動画や、ただよび・高瀬先生の動画を参照。よく同値性が誤魔化されている証明が載っているので、注意。

ここでは、接線の方程式を証明する。

楕円の方程式を両辺 で微分すると、

（この微分は、合成関数の微分を用いている）

のとき、

よって、 における接線の方程式（）は

となる。接線の方程式の作り方をすっかり忘れた方は、この「接線の方程式」の辞書で確認。

いま、 はこの楕円上にあるので、代入して、

を に代入して、接線の方程式

を得る。

また、 のとき、つまり、点 、 での接線は、それぞれ 、 で表されるが、この接線の方程式に含まれる。

補足

楕円の媒介変数表示については、「円の媒介変数表示」の辞書の補足で確認しよう。

楕円の面積は で求められる。円の場合の「半径×半径」が 「短軸×長軸」 になった形。

軸との交点は、覚えていなくても を にしたりして簡単に求められる。焦点は、 楕円内部で長軸上にあることを頭に入れておくと、引き算であること思い出しやすい。

上では、楕円の中心が原点にある場合のみを扱ったが、中心が違うところにある場合もある。その場合は、中心の移動に応じて、全部平行移動すれば問題ない。

接線の方程式は、円の場合と同じように、 の一つを に、 の一つを に変えると考えればOK。