放物線

概要

放物線は、これまでも散々やってきたが、高校数学の最後の最後に新たな定義が登場する。

放物線は、 つの点（焦点）と つの線（準線）からの距離が等しくなるような点の集合と定義される。

方程式は、 軸方向に広がるものと、 軸方向に広がるものがあり、それぞれ以下の通り。

後者は変形すると、これまでにやってきた親しみのある放物線の式

が姿を表す。

軸方向に広がるものは、以下の通り（ として書いているが、 の時は左右がひっくり返る）。

軸方向に広がるものは、以下の通り（ として書いているが、 の時は上下がひっくり返る）。

放物線上の接点における接線の方程式は、それぞれ以下の通り。

証明

軸方向に広がるものの場合で、接線の方程式を証明する。

放物線の方程式を両辺 で微分すると、

（この微分は、合成関数の微分を用いている）

のとき、

よって、 における接線の方程式 は

となる。接線の方程式の作り方をポッカリ忘れた方は、この「接線の方程式」の辞書で確認。

いま、 は放物線上にあるので、代入して、

を に代入して、接線の方程式

を得る。

また、 のとき、つまり、点 での接線は、 で表されるが、この接線の方程式に含まれる。

補足

上では、放物線の頂点が原点にある場合のみを扱ったが、中心が違うところにある場合もある。その場合は、中心の移動に応じて、全部 平行移動すれば問題ない。