コーシー・シュワルツの不等式

概要

実数 について、常に

という不等式が成り立つ。これをコーシー・シュワルツの不等式という。

等号成立条件が大事で、 のときのみ等号が成立する。

ちなみに、コーシーさんとシュワルツさんは別人。

コーシー・シュワルツの不等式を用いる演習動画は、このように「okedou」で検索できるので確認しよう。

例

相加相乗平均の不等式と同様に、この不等式の形を見抜けると、最大値や最小値を求めるときにラクできることがある。

【問】 について、 の最大値を求めよ。

【答】 とおいて、円と直線の位置関係で考えてもいいが、コーシー・シュワルツの不等式ですぐに求めることができる。

コーシー・シュワルツの不等式より、

が成り立つ。よって、

となる（等号が成り立つ が実際にあるかを確認するまでは、 が最大値とは言えない）。ここで、等号成立は、

のとき。これを に代入して解くと、

となり、 が存在するので、 の最大値は 。

証明

（左辺）-（右辺）を展開して整理すると、

が示され、等号成立は とわかる。

ベクトルで示す方法もあり、

として、これらのなす角を とおくと、内積の定義より

なので、

となる。等号は のときで、平行条件から つまり が出てくる。（平行条件の辞書はこちらから）

ベクトルで示す方法の方が、慣れたら思い出しやすいというメリットがある。

補足

変数ではなく、 変数以上に拡張した一般形もある。Koga Masakiさんの「今週の定理・公式No.18」の動画で、画期的な証明とともに学べるので確認しよう！