トレミーの定理

概要

円に内接する四角形 において、辺の長さに関して

が成り立つという定理をトレミーの定理という。

証明

上の図のように、 と について、余弦定理と、円に内接する四角形の対角の和は であることより、

が成り立つ。なお、最後の式変形に

の性質を用いた。（復習は「関係」の辞書で確認）

を消去して、

を得る。また、 についても同様にして

を得る。よって、 の 式を掛けて

を得る。

両辺 で割って、ルートをとることで、

すなわち、

が成り立つことが示された。

補足

きれいな定理で、名前も可愛い割には、登場場面が少ない。

「トレミー」というのは、実はクラウディオス・プトレマイオスさんの愛称。なので、プトレマイオスの定理とも呼ばれる。

トレミーの定理をうまく使うことによって、正五角形の対角線の長さを素早く求めることができる。一辺を とし、対角線の長さを として、下の四角形でトレミーの定理を用いると、

と求められる。（ より解はこの1つのみ）

動画で学びたい方は、数学力向上チャンネルさんのこの動画を見てみよう。