放物線の面積公式

概要

放物線

と直線

の交点の 座標を とすると，この放物線と直線で囲まれた図形の面積 は次の式で求められる（下の証明の式変形をおさえておくことが大事で、面積の問題じゃなくても定積分の計算にとても役立つことがある）。必殺奥義的なもの。通称「 分の 」公式。

また、放物線

と接線

の接点の 座標を とすると，この放物線と接線と で囲まれた図形の面積 は次の式で求められる。

さらに、放物線

と 本の接線の接点の 座標を とすると、この放物線と 接線で囲まれた図形の面積 は次の式で求められる。

ちなみに、この 本の接線の交点の 座標は必ず となる。

証明

例として、 つ目の公式を の場合で示す。 や残りの式についても、同様にして求めることができる。

下の★の値が と計算できることがとても大事（下の証明の式変形をおさえれば、 放物線同士でも応用できる）。面積を求める計算以外にも、極大値と極小値の差を求める問題などでも、この式変形が活躍したりする。（リンクを飛んで動画を確認しよう）

なお、証明の式変形に出てくる「1次式のn乗の積分」の辞書はこちら。とても使える技！

補足

• 「 分の 」公式の詳しい証明動画は、たとえばヨビノリさんの証明動画、古賀真輝さんの証明動画、AKITOさんの証明動画などを参照
• より発展的な 「見方」 はガチでノビる受験数学さんの動画を参照
• つ目の公式を「 分の 公式」、 つ目の公式を「 分の 公式」と呼ぶことも多い。
• 実は「 分の 公式」と呼ばれる公式には、 あと パターンあって、気になる方はこの河野玄斗さんの動画を参照。 次関数バージョンはこちらの「1次式のn乗の積分」の辞書でも確認できる。
• これらの式は、 覚えておかないと解けないことはないが、覚えていると時間を短縮できたり、答えが合っているか確認できる、という必殺奥義的なもの