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2012年の京大文系数学 [5] より,またしても領域問題をピックアップ。
cosaθ = cosbθ の θ ∈ (0, π] における解がちょうど 1 個になるような正の実数 a, b の組 (a, b) の範囲を図示する問題です。
シンプルな見た目の方程式ではありますが,cos の値が等しいときの aθ と bθ の関係には 2 種類あるため,そのどちらで解があるのかを見極めなければなりません。
また,そもそも a = b の場合は任意の θ ∈ (0, π] が方程式の解となるため,これについても排除する必要があります。
思いのほか慎重な議論を要するため,大雑把に問題を解くことしかできない人にとっては難しい問題です。
一方,日頃から丁寧に議論する習慣のある人にとっては,大して難しい問題ではないでしょう。
論理的思考力がストレートに結果に出るという意味において,良問だと思います。
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 2012年 京大 文系数学 [5]
00:47 cos が等しくなるときの角度の関係
04:16 ポイント:a = b のケースを除外
05:53 2 つのケースがある
06:41 (i) aθ = bθ + 2kπ の場合
12:15 (ii) aθ = -bθ + 2kπ の場合
14:00 解は全部で 1 個
15:05 2 種類の解の整理
18:41 条件を満たす (a, b) の図示
23:56 解法のまとめ
26:58 学習者へのアドバイス
28:04 おわりに