対数関数の積分

概要

対数関数の積分は、一筋縄ではいかない。結論は以下の通り。

覚えなくてもいいので、 部分積分を使う計算の方法を頭に入れておき、応用していくことがオススメ。

なお、上の式は絶対値無しでも成り立つ。つまり

ここでは絶対値付きで紹介する。

証明

最初の式変形がキモ。

と見て、無理やり部分積分を行う。

補足

「部分積分」のokedic辞書で、多項式関数と対数関数を「微分した方が計算しやすいもの」として紹介したが、 この2つが掛け算されている形のときは対数関数が勝って、

• 「微分した方が計算しやすいもの」：対数関数
• 「積分されても困らないもの」：多項式関数

として部分積分をすることが多い（対数関数を微分すると が出てくるので、多項式関数の積分と打ち消せる）。