仕事

概要

物体に一定の力 がはたらき続けて、物体が だけ移動した場合、その力は物体に対して仕事をしたといい、その仕事 は次の式で表される。

は、力の向きと移動方向のなす角のこと。単位はジュール で、上の式より の次元は に等しい（この は質量じゃなくて長さであることに注意）。

物理をやっていくと、いたるところでこの言葉に触れることになって、日常で使う「仕事」とごちゃごちゃになりやすいので、特にバイトしている方は要注意。

「何の力が」「何の物体に」 仕事をしているのかを理解することが、とても大事。

また、定義からわかるように、力の向きが移動方向と垂直であれば、その力の仕事は になる。これはめちゃくちゃ大事。特に、垂直抗力は基本的に移動方向と垂直なので、全然仕事しない。

さらに、これも定義からわかる通り、力の向きが移動方向と鈍角をなしていれば、その力は負の仕事をすることになる。

例

台の上を滑る質量 の物体がある。台の傾斜が として、変位 だけ滑り落ちたとき、重力が物体にした仕事を求めよ。

重力の向きと移動方向のなす角は なので、重力がこの物体にした仕事 は、

と求められる。

補足

仕事をイメージで理解しておくと、何かと役に立つ。定義の式を、

と変形すれば、仕事 力 （その力の向きへの移動距離） と理解できるし、

と変形すれば、仕事 （力の移動方向の成分） 移動距離 と理解できる。

どちらにせよ、「物体を動かすのに、その力がどれくらい貢献したか」 のような量を表していることがイメージできる。

定期の式から分かる通り、仕事は力ベクトルと変位ベクトル（位置ベクトルの変化）の内積で表される。内積についての辞書はこちらから。

発展

ここでは、移動方向も、力の向きや大きさも一定の場合を扱っているが、日常世界はもちろんそんなに甘くはなく、例えば位置によって変わる力 によって、直線上で点 から点 まで質点（大きさのない物体）を動かすときに、力 がする仕事は、次の積分で計算できる。

力が位置の関数になっているような場合（弾性力の仕事など） はこれで計算できる。面積で求める方法も人気だが、要するに定積分を計算することと変わらない。

大学物理では直線上に限らない経路の仕事も計算することができ、点 から点 まで質点（大きさのない物体）を動かすときの仕事は、次の式で表される。

つまり、位置により変化する力ベクトルと、微小変位ベクトルとの内積を、点 から点 まで足し合わせた形になる。

動画で深く学びたい！ という方には、化学好きな東工大生・かずきさんの動画がオススメ。仕事の積分表現や、運動方程式や運動エネルギーとの関係について、数学的に深く学べる。