比例式

概要

公式では無いが、よく出てくる 「比例式」 の解法の考え方を例を通じて身につけよう。

例

【問1（基礎）】 が成り立つとき、 の値を求めよ。

【解答】

とおくと、分母を払って

とそれぞれの文字を を使って表せる。これらを求める式に代入して、

と鮮やかに計算できる。

【問2（発展）】以下の式が成り立つとき、この式の値を求めよ。

【解答】分母は になれないので、暗黙の条件として、 のもとで考える。一見すると何をしたらいいかわからないが、 とおくと世界が変わる。

とおいて、 を求める。まずは分母を払って、

と表される（ は であることに引き続き注意）。ここで、 全ての辺々を足すと、

よって、 または となる。（ で割ってしまうミスがよく発生するので、グッと我慢しよう。 の可能性あり！ ）これはまだ必要条件なので、ここから元の連立方程式に戻って を求めていく。

(i) のとき、 などから連立方程式は以下のようになる。この解があるかどうかを調べる。

よって はこの連立方程式の解となる。（例えば を解に持ち、 も満たしている、ということを確認している）

(ii) のとき、連立方程式は

となり、この解があるかどうかを調べる。例えば で成立するので、 はこの連立方程式の解となる。（ も満たしている、ということを確認している）

以上(i)(ii)より、求める値は となる。