重複組み合わせ

概要

種類のものから重複を許して 個選ぶ重複組み合わせの場合の数は、

と求められるが、日本語で考えるとどっちが で かなど混乱するので、公式を使うよりも、 玉とかカードとかを「しきり棒で区分けする」 と考えるとわかりやすい。

例

【問1】 枚の区別がつかないカードを、赤、青、緑の 色で塗っていくとき、塗り方は何通りあるか（使わない色があっても良いとする）。

【答1】 つのカードを 本のしきり棒で区切ると考えて、区切られた場所によって塗る色を決める。

つのカードと 本のしきり棒の並べ方は、

より 通りと求められる。（公式を使うと 通り）

【問2】 を満たす正の整数解の組 の個数を求めよ。

【答2】一見難しそうだが、これも 個の玉を つの部屋に区切る と考えて、重複組み合わせと考えられる。ただし、正の整数解なので、 先に 個ずつ部屋に入れておく。

個の玉と 本のしきり棒の並べ方は、

より 通りと求められる。（公式を使うと 通り）

補足

「重複」は「ちょうふく」と読むことで有名だが、「じゅうふく」も最近認められてきたらしい。

ちょうふくシリーズで言うと、 「重複順列」も人気だが、こっちは例えば区別できるカードを塗り分けるときに登場する概念で、重複組み合わせよりはだいぶ考えやすい。