剰余の定理

概要

多項式 を で割ったときの余りは となることを、剰余の定理という。ジョーヨという人の定理だと思っている人は、5%くらいいる。

特に、 となるとき、 は で割り切れる（つまり因数にもつ）。これを因数定理という。

証明

多項式 を で割った式は、別の多項式 と実数 を用いて、

と書ける。このとき、 が余りとなる （ 次式で割るので、余りは 次）。

この式の に を代入して、 となる。よって、 で割ったときの余りは となる。

例

【問1】 を で割った余りを求めよ。

【答1】剰余の定理より、 が余りとなる。

【問2】 を で割ったら 余り、 で割ったら 余る。このとき、 を で割った余りを求めよ。

【答2】求める余りは 次以下の式なので、 とおく。商を とおくと、

と表せる。ここで、剰余の定理より、

なので、 に を代入すると

となる。

これを解くと、、 と求められるので、求める余りは である。

補足

因数定理は剰余の定理の特別バージョンと整理しておくと、覚える量が減る。「因数定理」の辞書はこちらから。

割る式が 次式であることに注意しないといけないが、上のように 「余りを設定して数値を代入する」 という考え方は、とても応用が効く。

もっと踏み込んだ話や、因数定理とのつながりをしっかり学びたい方は、古賀真輝さんのこの動画がオススメ。