受験に向けての勉強をしていて，「自分は数III極限が弱いなぁ」と感じた受験生向けの問題セットです。数III極限への理解の度合いを、一段階、強化させます。

問 nを自然数とする．区間[0,n)にごく小さな砂つぶをn個でたらめに落とす実験を行った．どの砂粒についても，[0,1)，[1,2)，···，[n−1,n)のいづれの区間に落ちるかは同程度に確からしいとする．このとき，n個のうちちょうどk個の砂粒が区間[0,1)に落ちる確率をP_n(k)とする．
(1) P_n(k)を求めよ．
(2) lim_{n→∞n} {k!nCk}/{n^k}を求めよ．また，lim_{n→∞}P_n(k)を求めよ．(97慶應大)

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MATH

確率の極限値 慶応大 数学III 極限

問 次の極限が有限の値となるように定数a，bを定め，そのときの極限値を求めよ.
lim_{x→0} {√(9−8x+7cos2x)−(a+bx)}/{x²}
(大阪市立大)

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極限が有限の値になる条件 大阪市大 数学III 極限

問 rを実数とするとき，数列{r^{2n+1}−1}/{r^{2n}+1}の極限を求めよ．

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等比数列の極限 数学III 極限

問 nを正の整数とし，y=n−x^2で表されるグラフとx軸とで囲まれる領域を考える．この領域の内部および周に含まれ，x，y座標がともに整数である点の個数をa(n)とする．次の問いに答えよ．
(1) a(5)を求めよ．
(2) √nを超えない最大の整数をkとする．a(n)をkとnの多項式で表せ．
(3) lim_{n→∞} {a(n)}/{√(n³)}を求めよ．
(早稲田大)

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格子点と極限 早稲田大 数学III 極限

問 0＜a＜bである定数a，bがある.
x_n=(a_n/b+b_n/a)^{1/n} とおくとき，
(1) 不等式b_n＜a(x_n)^n＜2b_nを証明せよ.
(2) lim_{n→∞} x_n を求めよ.
(立命館大)

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n乗根の極限値立命館大数学III 極限

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数III極限強化6題 #3

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