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2020年の東大理系数学より,二次関数についての問題をピックアップしました。
連立不等式の解が x > p と書けるときに,p = 0 であることを誘導つきで証明する問題です。
問題文の条件だけで p = 0 であることが示せるのはなんとも面白いですね。
(1), (2) が大きなヒントになっているため,素直に問題を解いていけば (3) まで証明が完了します。
飛躍的な思考や複雑な計算を要求されるわけではないので,確実に正解したい平易な大問といえるでしょう。
ただし,言いたいことを答案に落とし込むのはやや難しいかもしれません。論理的思考や答案作成のよい練習になるでしょう。
この問題は一応 数学I・数学A の範囲で解けるようになっているため,高一の数学を学習し終えた高校生はぜひチャレンジしてみてください!
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<Twitter: @884_96>
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 2020年 東大 理系数学 第1問
01:07 不等式などに名前をつける
01:36 (1) 解答の方針
04:08 (1) 二次関数の重要性質
05:41 (1) S の形と矛盾する
07:57 参考:"同様に" の使い方
09:27 (1) のまとめ
10:07 (2) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 を仮定
11:37 (2) 解答の方針
15:02 (2) 小さい x は不等式をみたす
16:26 (2) やはり S の形と矛盾する
18:22 (2) のまとめ
19:23 (3) a = 0 を仮定する
20:53 (3) a = 0 のときの不等式を整理
22:24 (3) b = c = 0 か否かで場合分け
26:47 (3) のまとめ
29:58 おわりに