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2020年の東大理系数学より,空間図形の問題をピックアップ。
やや複雑な立体の断面について調べ,断面積を求め,それを積分することによって体積を計算します。
この流れは東大理系数学の体積計算問題で定番のものですね。
ただし,本問では考えている領域が不等式で与えられているわけではないのが難しいところです。
線分 AP の通過領域全体を求める前に,まず点 P の z 座標を固定したときの断面を調べ,そのあとに z 座標を動かすことで,最終的な立体の断面を求めることができます。
それがわかったら,あとは断面積を求めて積分するだけであり,ただの多項式関数の積分なのでこれは容易です。
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<Twitter: @884_96>
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 2020年度 東大 理系数学 [5]
01:01 (1) スケッチと方針
04:05 (1) 円の中心を求める
07:25 (1) のまとめ
08:41 (2) スケッチと方針
10:46 (2) xz 平面の断面図を描く
15:32 (2) P の z 座標を固定したときの断面
22:16 (2) 最終的な断面図
24:58 (2) 断面積と体積の計算
26:14 (2) のまとめ
28:08 おわりに