標準化

概要

正規分布 に従う確率変数 を、 で変換することを標準化という。つまり、期待値を引いて、標準偏差で割る、という操作を行っている。

このように定めた確率変数 は、標準正規分布 に従うことになる。

どんな正規分布であっても、 によって標準正規分布 に直す（そろえる）ことができる、というのが標準化のとても重要なポイント！！

標準化によって標準正規分布に直して、確率を計算していく流れは、統計分野で信じられないくらいよく出てくるので、標準化の方法（期待値を引いて、標準偏差で割る） と、下で紹介する標準正規分布になる理由を確実に押さえておこう。

詳細

正規分布に従う確率変数に、 次式の変換を行い新たな確率変数を定めたとき、実はその変換後の確率変数の分布も正規分布に従う。

また、確率変数 が連続型であっても、 を定数として で新しい確率変数 を定めたとき、以下の期待値や分散の関係式が成り立つ。（確率変数の変換）

• 期待値：
• 分散：

※ これらは、正規分布の確率密度関数

を用いて示すことができるので、興味のある人は確認してみよう。とりあえずここではこれらの性質は認めることにする。

いま、確率変数 が正規分布 に従うとすると、 の期待値と分散は

であるので、 の期待値と分散は

※ は定数なので、 であることに注意！

と求められる。（よく、標準化するときの分母が標準偏差か分散かわからなくなるので、この証明ですぐに思い出せるようにしておこう！（分母を分散にすると、変換後の分散が にならない））

また、標準偏差は、定義より

である。

上で触れた通り、 次式による変換で定められた確率変数 は正規分布に従い、いま求めた通り、期待値は 、分散は なので、確率変数 は標準正規分布 に従うことがわかる。