## 概要

確率変数 $X$ に対して、$a,b$ を定数として、$Y=aX+b$ という変換で新しい確率変数 $Y$ を定めよう。

※ 確率変数とは、ざっくり言うと、サイコロの目や、3枚コインを投げた時の表の枚数、みたいな感じで、**とりうる値が確率的に決まっているもの**。$Y=aX+b$ というのは、$X$ のそれぞれの値に応じて、この式で $Y$ のとる値が決まっていくイメージ（確率分布はそのまま引き継がれる）。

このとき、**確率変数 $Y$ の期待値、分散、標準偏差は、確率変数 $X$ の期待値、分散、標準偏差から求めることができて**、

- 期待値：$E(Y)=aE(X)+b$
- 分散：$V(Y)=a^2V(X)$
- 標準偏差：$\sigma(Y)=|a|\sigma(X)$

となる。数学Ⅰのデータの分析で学ぶ[変量の変換](https://okke.app/words/p/bDy4PB1jHgwog)とも同じ式なので、押さえやすいはず。

証明は下で行うが、これはイメージをとても大事にしよう。

まず、期待値はその名前の通り、確率を考えたときに「だいたい期待できる値」なので、全てのとりうる値を $a$ 倍して $b$ を足すと、期待値 $E(Y)$ は $aE(X)+b$ で良さそう。

分散は、分布の**散らばり具合**を表しており、期待値とのズレを $2$ 乗して求めるので、$X$ を $a$ 倍すると**分散は $a^2$ 倍になりそう**だが、別に全てのとりうる値に **$b$ を足しても、分布の散らばり具合は変わらない**はずだ、というイメージ。

このイメージを持っておくと、すぐに上の式を思い出せる。

## 証明

**定義から愚直に示すクセ**を是非身につけよう。

ここでは、離散型の確率変数で話を進めていくが、連続型でも全く結論は同じ。（シグマが積分になるイメージ）

$X$ のとりうる値を $x_1, \ x_2,\cdots, \ x_n$、それらの値となる確率をそれぞれ $p_1, \ p_2,\cdots, \ p_n$ とおく。

このとき、$Y=aX+b$ の変換式より、

- **$Y$ のとりうる値**は $ax_1+b,$ $ax_2+b,$ $\cdots,$ $ax_n+b$
- **それらの値となる確率**はそれぞれ $p_1, \ p_2,\cdots, \ p_n$

となることに注意しよう。

では、まず**期待値**について。

$$
\begin{align} 
E(Y)&=E(aX+b)\\\\
&=\sum_{i=1}^n (ax_i+b)p_i\\\\
&=a\sum_{i=1}^n x_ip_i+b\sum_{i=1}^np_i\\\\
&=aE(X)+b \ \ \ (\because \sum_{i=1}^np_i=1)
\end{align} 
$$

となり示される。最後の式変形では、とりうる値のそれぞれの確率の和は $1$ であることに注意しよう！

次に**分散**について。いま示した式も早速使っていくと、

$$
\begin{align} 
V(Y)&=V(aX+b)\\\\
&=\sum_{i=1}^n \left((ax_i+b)-E(aX+b)\right)^2p_i\\\\
&=\sum_{i=1}^n \left((ax_i+b)-(aE(X)+b)\right)^2p_i\\\\
&=\sum_{i=1}^n \left(ax_i-aE(X)\right)^2p_i\\\\
&=a^2\sum_{i=1}^n \left(x_i-E(X)\right)^2p_i\\\\
&=a^2V(X)
\end{align} 
$$

となり示される。

※ 最後は、まさに **$X$ の分散の定義の式そのもの**であることに注意しよう！

標準偏差は、定義から

$$
\begin{align} 
\sigma(Y)&=\sqrt{V(Y)}\\\\
&=|a|\sqrt{V(X)}\\\\
&=|a|\sigma(X)
\end{align} 
$$

となる。**絶対値がつく**ことに注意！！

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