確率変数の変換

概要

確率変数 に対して、 を定数として、 という変換で新しい確率変数 を定めよう。

※ 確率変数とは、ざっくり言うと、サイコロの目や、3枚コインを投げた時の表の枚数、みたいな感じで、とりうる値が確率的に決まっているもの。 というのは、 のそれぞれの値に応じて、この式で のとる値が決まっていくイメージ（確率分布はそのまま引き継がれる）。

このとき、確率変数 の期待値、分散、標準偏差は、確率変数 の期待値、分散、標準偏差から求めることができて、

• 期待値：
• 分散：
• 標準偏差：

となる。数学Ⅰのデータの分析で学ぶ変量の変換とも同じ式なので、押さえやすいはず。

証明は下で行うが、これはイメージをとても大事にしよう。

まず、期待値はその名前の通り、確率を考えたときに「だいたい期待できる値」なので、全てのとりうる値を 倍して を足すと、期待値 は で良さそう。

分散は、分布の散らばり具合を表しており、期待値とのズレを 乗して求めるので、 を 倍すると分散は 倍になりそうだが、別に全てのとりうる値に を足しても、分布の散らばり具合は変わらないはずだ、というイメージ。

このイメージを持っておくと、すぐに上の式を思い出せる。

証明

定義から愚直に示すクセを是非身につけよう。

ここでは、離散型の確率変数で話を進めていくが、連続型でも全く結論は同じ。（シグマが積分になるイメージ）

のとりうる値を 、それらの値となる確率をそれぞれ とおく。

このとき、 の変換式より、

• のとりうる値は
• それらの値となる確率はそれぞれ

となることに注意しよう。

では、まず期待値について。

となり示される。最後の式変形では、とりうる値のそれぞれの確率の和は であることに注意しよう！

次に分散について。いま示した式も早速使っていくと、

となり示される。

※ 最後は、まさに の分散の定義の式そのものであることに注意しよう！

標準偏差は、定義から

となる。絶対値がつくことに注意！！