指数関数×三角関数の積分

概要

高校数学の積分の中でトップレベルで見た目がイカつい、ラスボスみたいな積分計算。入試ではノーヒントで出題され得るので、ポイントをしっかり押さえておこう。

部分積分を2回用いて同じ形の積分を出現させるのがコツである。 これで1行目と最後の行に がでてきた。後は について解けば良い。 なお最後の式では積分定数 をつけた。最後の結果のところさえ積分定数を書き忘れなければマルがもらえるだろう。 また、同じノリで、 も計算できるので是非自分でやってみよう。

別解

の方の積分を 、 の方の積分を と置いて、、 を同時に求める別解も確かめておこう。

と置いて、それぞれを部分積分すると、

ここから、上の二式を 、 の連立方程式として見て解いても同様の結果が得られる。

補足

• 定積分の場合は先に不定積分を完全に求めてしまってから、上端と下端の数値を代入する方が計算ミスが少なくて良い。