King Property

概要

関数 の定積分に対して、次の性質が成り立つことを、King Property という。

これは、どんな関数でも、どんな積分区間でも成り立つ、という優れもの。また、名前がかっこいいことでも有名で、ついつい使いたくなるランキング上位。

中身はただの置換積分であるものの、どんなときに何が嬉しいのかを知っておくことが大事。

King Propertyを用いる積分の演習動画は、このように「okedou」で検索してまとめて演習できるので、コツをつかんでいこう。

証明

置換積分ですぐに証明することができる。 とおくと、置換積分の3点セットを考えて、

となる。ここで、最後の を に変えても、定積分の値は変わらないので、

が示される。

使い方の例

名前がかっこいいのは分かったけど、いつ使うんだ？という気持ちになるが、

が簡単には計算できないときに、King Property によって出てきた相棒と足し合わせることで、定積分の値を簡単に求めることができることがある。

例えば、

を求めたいときに、簡単には求められない。そこで、

と置換すると、

この値を とおき、最左辺と最右辺を足すと、

よって、 と求まる。

ただ、実はこの定積分は、分母分子に をかけることで直接に求めることもできる。（関数分の導関数の積分の公式を利用する）

この他にも、三角関数関連の積分でも効果を発揮することがある。King Property を用いる積分の問題は、okedouでまとめて探せるので、リンク先で確認しよう。

補足

King Property は教科書には載っていないので、入試で使うときは上の証明の中の置換を書いて、「 と置換することにより〜」と使うようにしよう。

対称移動を考えて、図形的にも面白い解釈ができる。こちらのヨビノリさんの動画を確認しよう。