## 概要

モル質量が $M \ [\mathrm{kg/mol}]$、温度が $T \ [\mathrm{K}]$ の気体について、**二乗平均速度（根平均二乗速度）** は

$$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

で求められる。（$R$ は気体定数）

## 導出

まずは、[気体分子運動論](https://okke.app/words/p/qurA6xAcHr2h8)の流れをマスターしよう。話はそこから始まる。

気体分子1個の質量を $m \ [\mathrm{kg}]$、ボルツマン定数を $k \ [\mathrm{J/K}]$ として、**気体分子1個の平均運動エネルギー**について次の式が成り立つ。

$$\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT \ \cdots(1)$$

※ ちなみにこの「平均」というのは、1個の気体分子についてあらゆる時刻での速度の二乗の平均、という意味ではなく、たくさんの気体分子の間での速度の二乗の平均、という意味。

この、1個の気体分子の質量 $m$ を原子量や分子量で表してみよう。

気体のモル質量を $M \ [\mathrm{kg/mol}]$、アボガドロ定数を $N_A \ [\mathrm{/mol}]$ とすると

$$m=\frac{M}{N_A}$$

なので、これを $(1)$ 式に代入すると、

$$
\begin{align}
\frac{1}{2}\cdot\frac{M}{N_A}\overline{v^2}&=\frac{3RT}{2N_A}\\\\
\overline{v^2}&=\frac{3RT}{M}\\\\
\sqrt{\overline{v^2}}&=\sqrt{\frac{3RT}{M}}
\end{align}
$$

という式を得る。

この左辺は、気体分子の速度の二乗の平均のルートであり、これを**二乗平均速度（根平均二乗速度）** と呼んでいて、分子の速さを表す指標となっている。

※ 名称は「二乗」平均速度だが、ルートをつける点に注意しよう！

二乗平均速度

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導出

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