JMO予選から 数論 分野の問題をピックアップしました。おおむね難易度順となっております。

日本数学オリンピック予選の問題を解説します。

着想・発想、試行錯誤の仕方、数オリでの定石などをアップしていきます。

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▶︎チャプターリスト
00:00 タイトル・第一印象
00:30 一次不定方程式を立てる → 合同式で絞って解く
02:15 最小値を求めるために順に代入して確認していく
02:37 答え・事後分析・別解

MATH

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００３年 問２

日本数学オリンピック予選の問題を解説します。

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00:00 タイトル・第一印象・答え予想
01:05 不等式で上限を押さえて求める
02:01 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００８年 問１

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00:00 タイトル・第一印象
00:53 あたりをつけて探索を進める
02:28 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１８年 問１

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１１年 問５

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００６年 問１

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00:00 タイトル・第一印象
00:35 ひとまずmod 13を計算していく
01:27 答え・事後分析・別解

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００１年 問５

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【解説】日本数学オリンピック予選 ２００４年 問４

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１０年 問３

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00:00 タイトル・第一印象
00:23 具体的な数値で雰囲気をつかむ
02:30 規則性を見つける
06:58 一般化して証明
10:14 最後の気合いの数値計算
10:57 答え・事後分析
11:55 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２１年 問６

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00:00 タイトル・第一印象
00:29 素因数分解して数える
01:32 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１５年 問１

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00:00 タイトル・第一印象
00:39 条件の理解①「 任意の正の整数 N 」
01:17 条件の理解②「 あるNより大きい整数 d 」
01:52 条件の理解③「 非負整数 k と 整数 d が存在する 」
02:33 条件の理解④「 m-k2 も n+2k も d で割り切れる」
03:06 アプローチの方針検討 → 合同式で立式
04:23 mod d を考察 → 合同式から等式を得る
05:35 必要条件 n2=4m の十分性を検証（k,d をうまく決める）
07:37 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２２年 問５

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00:00 タイトル・第一印象
00:29 約数の総和の公式 (少し変形) で立式
01:41 立式後の考察
02:30 気合いで表に書き出す (工夫はする)
05:49 地道に候補を減らす
06:41 条件を満たす組合せを列挙
07:07 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００８年 問４

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00:00 タイトル
00:34 初期分析
01:36 具体的な数値から規則性を見つける
05:05 必要条件で絞り込み
06:41 合成数に着目して精緻化
10:16 奇素数に着目して精緻化
11:46 十分性の確認→答え

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１７年 問７

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１２年 問４

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００３年 問３

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00:00 タイトル・第一印象
00:36 とりあえず手を動かして雰囲気をつかむ
01:49 隣同士の和を一般化して計算してみる → 総和が求まる
03:16 既約分数を求める（互いに素であることを確認）
04:26 mod の計算を工夫しながら丁寧に進める
05:34 答え・事後分析・別解１（総和の計算）
06:23 別解２（余りの計算）・別解分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００２年 問７

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１１年 問２

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00:00 タイトル・第一印象
01:02 一番単純な例から考える
02:21 例を少し一般化して大まかに答えを見積もる
03:41 桁上がりを考えて改善を図る
04:51 小数も考えて改善を図る→答えの候補939が見つかる
06:26 答えの候補939以下となることを一般化して証明する
07:38 不等式評価の難所（試行錯誤＆気合い）
09:17 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１４年 問８

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00:00 タイトル・第一印象
00:30 mod 7で整理する
01:25 気合いの数え上げ
01:40 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２０年 問１

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00:00 タイトル・第一印象
00:17 気合い＆丁寧に40C20を約分する
02:05 気合い＆丁寧に合同式を計算する
03:13 答え・事後分析・別解

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０００年 問８

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00:00 タイトル・第一印象
00:54 文字で置いて因数分解
01:57 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１６年 問１

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00:00 タイトル・第一印象→ひとまず方程式を立てる
00:56 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００１年 問１

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１３年 問２

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00:00 タイトル・第一印象
02:29 べき乗(mod 17)の周期性を調べる
04:02 周期の必要条件で絞る
05:20 気合いの場合分け
06:16 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２１年 問８

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00:00 タイトル・第一印象
00:57 互除法でゴリ押す
02:07 答え・事後分析
02:30 エレガントな別解

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１９年 問５

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００９年 問３

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００５年 問１

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00:00 タイトル・第一印象
00:36 桁数から絞り込み（必要条件）
02:03 一の位に注目して絞り込み（必要条件）
03:48 絞り込み後は気合いの計算
04:07 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２０年 問４

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00:00 タイトル・第一印象
00:55 楽な方法を考える→一の位に注目
01:42 楽な方法を考える→桁数に注目
02:02 4通りしかないので気合いの計算
02:13 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１９年 問２

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00:00 タイトル・第一印象
00:27 ひとまず全力で式を立てる
02:04 手詰まり → 具体的な値を代入して雰囲気を掴む
03:13 必要条件 ( a ＞ 0 ) を場合分けして調べる → m の下限が分かる
04:51 最小値について考察 → 計算して具体値を調べる → 終了
06:44 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００６年 問４

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00:00 タイトル・第一印象
01:01 漸化式で機械的に進める
02:17 整数条件で手詰まり→分析
04:06 解法の糸口に気付く
05:39 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２１年 問４

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１４年 問３

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00:00 タイトル・第一印象
00:19 題意の理解に努める
01:51 各要素を書き出す
02:17 正負を調整する
03:20 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２０年 問５

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１１年 問３

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００４年 問１

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00:00 タイトル・第一印象
00:24 6桁の平方数の個数を計算
01:01 平方数の上3桁を具体的に書き出してみる → 気付き
02:29 連続する平方数の差 ＞ 1000 を基に列挙
03:55 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００８年 問７

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１２年 問５

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00:00 タイトル・第一印象
00:32 定石通り因数分解するだけ
01:26 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１９年 問１

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00:00 タイトル・第一印象
00:20 ただやるだけ
01:22 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２１年 問１

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１５年 問６

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００５年 問２

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１２年 問３

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１３年 問１

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00:00 タイトル・第一印象・方針決め（上位２桁を小さい順に調べる）
00:34 ① 2000~2099 の場合
00:57 ② 2100~2199 の場合
01:27 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２２年 問１

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１０年 問２

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００７年 問２

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00:00 タイトル・第一印象
00:35 条件に合わない場合を分析する
01:23 特殊ケース a1 = 1 を考える
01:57 条件を満たすために a_n の例を変えて分析する
02:49 a2 を大きくした例から分析 → 条件を満たす例を見つける
04:06 見つけた例より a2004 が小さくできないか分析する
05:24 分析の積み重ねで重要なアイディアを手繰り寄せる
07:22 論理を整理
08:13 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００４年 問５

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１１年 問８

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１３年 問７

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00:00 タイトル・第一印象
00:42 ラフに素因数分解→「互いに素」が重要なことに気付く
01:22 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１７年 問２

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00:00 タイトル・第一印象
00:32 部分的に条件を満たす列の例を書き出してみる
02:03 隣り合える数を書き出して規則性を考えてみる
03:41 答えのあたりをつける（限界境界線を探る）
04:33 ｎ≧15 の証明をする（気合いの場合分け）
06:44 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００３年 問６

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00:00 タイトル・第一印象・ひとまず定石通り式変形
00:54 方針転換して不等式を変形 → an の上限・下限が求まる
02:44 絞り込みのための規則性を見つけたい → 代入しまくる
04:12 規則性の仮説が立つ → 答えはすごく少ないかも！
05:27 仮説の証明
06:47 しっかり論理を詰める → 気合いで数え上げ（検算）
08:17 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０２２年 問８

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00:00 タイトル・第一印象
00:26 基本通りに整数方程式として解き進める
01:29 解の個数について考察してみる
03:08 n が奇数の積の場合
04:21 n が偶数の積の場合
05:03 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００５年 問７

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００７年 問４

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00:00 タイトル・第一印象
00:51 余りをキレイにしていく(2回)
02:00 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１８年 問４

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１６年 問２

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00:00 タイトル・第一印象
00:40 文字で置いて計算（文字を減らす）
01:11 mod 4 をとって文字をさらに減らす
02:09 mを求める→十分性の確認
02:42 答え・事後分析・別解

【解説】日本数学オリンピック予選 ２００２年 問５

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00:00 タイトル・第一印象→ひとまず立式
01:03 整数の定石を一通り試すがダメ→除算に気付く
02:12 (a,b)を具体的に求めてみる→すっきり行かない
04:08 得られた情報から答えを予想→別の見方に気付く
06:28 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１６年 問９

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00:00 タイトル・第一印象
00:58 具体的に列挙してみる
01:33 具体例を元に一般化してみる
02:06 答え・事後分析

【解説】日本数学オリンピック予選２０１６年問９

シリーズ

【数論】ＪＭＯ予選 #54

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【解説】日本数学オリンピック予選 ２０１６年 問９

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