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「数Ⅱ」では、整関数を微分しました。
これから、微分する対象を広げていきましょう。
まず、三角関数から。
和積公式については
　　   • 【10-4】「三角関数」では、何を...  
「≒」については
　　   • 【17-7】sinθ/θ の極限と...  
を確認してください。

MATH

【18-3】少し工夫して、三角関数を微分する！

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今まで、微分する対象を広げてきました。
最後に、
　　x^α (α：実数の定数)
を微分しましょう。
logｘ の微分については　   • 【18-5】log|x| の微分っ...  
合成関数の微分については　   • 【18-2】合成関数の微分を図形的...  
で確認してください。

【18-6】x^π を微分すると？

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◆◆次の動画◆◆   • 【18-10】f´´(x)＞0 ⇒...  
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f ’(x) の符号と f(x) の増減について、しっかり論じます。
【平均値の定理】をとっさに使える人間になろう！

【18-9】「f ’(x)＞0 ⇒ f(x) は単調に増加する」を証明する！

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【平均値の定理】の証明では
　・図形的に捉える
　・ロルの定理に持ち込む
がポイントでした。
　　   • 【18-8】「平均値の定理」の証明...  
殆ど同じ流れで【コーシーの平均値の定理】も示せるので、
ちょっと背伸びしてみましょうか(笑)。
この流れだと
　　　【ロピタルの定理】【テイラー展開】
まで行くことになるのかな？

【18-11】「コーシーの平均値の定理」の証明も、当たり前と思える？

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前回「ロルの定理」を証明しました。
それを用いて【平均値の定理】を証明しましょう。
　　「ロルの定理に帰着させる！」
という方針と「図形的なイメージ」があれば、
自然な流れで証明に行き着きますね。

【18-8】「平均値の定理」の証明を、自然な流れで！

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log|x| を微分しても 1/x になりますが、しっくり来ています？
x＜ 0 のときは x＝－t とおいて、「合成関数の微分」
　　   • 【18-2】合成関数の微分を図形的...  
に当てはめてもよいですが、あまりピンとこないですね…。

【18-5】log|x| の微分って、しっくり来てる？

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「ｅ」を自然な流れで導入します。
それにより、多くの極限の公式を
　　「当たり前だ！」
と思えるようになることでしょう。

【18-4】自然対数のどこが自然？

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【テイラー展開】の導出法はいろいろあります。
ここでは「自力で導いている気がするもの」を紹介します。
　「ゴミで隙間を埋める」
を繰り返すわけです。
是非、自分でも書いてみましょう！
平均値の定理については
　   • 【18-8】「平均値の定理」の証明を、自然な流れで！  
「指数関数が n! の前ではゴミ」については
　   • 【17-3】指数関数は「最強」ではない！  
を参照してください。

【18-13】この解釈なら「テイラー展開」を導出できそうね？

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【平均値の定理】は【ロルの定理】から証明できます。
そこで、今回は【ロルの定理】を証明しましょう。

【18-7】「ロルの定理」を知ってる？スゴいんだよ！

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前の動画で
　【コーシーの平均値の定理】
を証明しました。
ここから【ロピタルの定理】が簡単に導かれます。
この流れは、いずれやるであろう(？)
　【テイラー展開】
の証明にも登場します！

【18-12】ロピタルの定理の証明

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◆◆前の動画◆◆   • 【18-1】f(x)/g(x) の...  
「合成関数の微分」を図形的に捉えてみます。
すると、「あの公式」が当たり前に思えてきますね。
ただ、残念ながらこれは「数Ⅲ」では厳密な証明ができません。
理由が分かれば大したものです！

【18-2】合成関数の微分を図形的にイメージする！

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個人的に、この証明は「おしゃれ」だと思います。
　・「曲線が下に凸」の定式化
　・ f’’(x)＞0 の解釈
　・ 平均値の定理の利用　   • 【18-8】「平均値の定理」の証明...  
など、いろいろと絡んでくるからです。

【18-10】f´´(x)＞0 ⇒ 曲線 y＝f(x) は下に凸 の理由は？

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◆◆次の動画◆◆   • 【18-2】合成関数の微分を図形的...  
f(x)g(x)の導関数を導いたときと同様に、
今回も【橋渡し】のアイディアが登場します。
　   • 【新12-1】導関数の定義から性質まで  

【18-11】「コーシーの平均値の定理」の証明も、当たり前と思える？

シリーズ

18.「微分法(数Ⅲ)」の基礎（←実は奥深い！） #11

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