中点公式

概要

点 の中点 の位置ベクトルは

で表される（平面、空間どちらでも成り立つ）。足して で割るだけという、高校数学の公式の中でも、だいぶ頭や心に優しい式。

位置ベクトルなので、基準の点 はどこでもOK。下では原点として話を進める。

証明

の中点 の位置ベクトルは、

と表される。（ は共線条件（つまり中点なのでベクトルも半分）、「共線条件」の辞書はこちらから確認）

平面で書いてるが、空間でも上の式は全く同様に成り立つ。

補足

よく出てくるが、直感的にも思い出しやすい公式。せっかくなので、 成分での計算にも慣れておこう。

点 の中点の座標は

で表される。簡単にいうと、 座標、 座標、それぞれ仲良く平均を取ればOK。空間座標の場合は、 座標も平均をとればOK。

また、この中点公式は複素数平面でも使える（数学III）。つまり、複素数平面上の 点を とすると、複素数平面上の線分 の中点に対応する複素数は、

で求められる。