有理数解の定理

概要

因数分解などにすごく役に立つ 「有理数解の定理」 をマスターしよう。証明にも整数問題の考え方が詰まっているので、合わせておさえておこう。

まず内容は、整数係数の 次方程式

を考えたとき、この方程式の有理数解は、

の形で必ず表される （負の約数も考える）。

ただし、ここで考えているのは 次方程式なので 。また とすると、上の方程式を でくくることで、 と、 次方程式

に分解されるので、ここでは とする。

大事なのは、有理数解を持つとすると、その可能性はだいぶ絞られるということで、上で表される が全て解になるわけではないし、必ず有理数解が存在するということではない点に注意しよう！

また、分母と分子がよくこんがらがるので、下の証明は自分で再現できるようにしておこう。

使い方

因数定理を使った因数分解のときに、代入する値の候補探しにとても使える。

【例】 を因数分解せよ。

【答】因数定理を使うために、代入して0になるような値を見つけたいが、直感ではなかなか見つからない。

そこで、上の有理数解の定理を考えると、

が有理数解を持つならば、その解は

の形になっているはずであり、つまり

の8個に候補が絞られる。この中で、 の左辺に代入して0になるものを探すと、

を得るので、因数定理から、 は を因数に持つことがわかる。

よって、因数分解すると

となる。

このように、因数定理を使って因数分解する際に、何を代入したらいいか、その候補を絞り込めるのでとても役に立つ。

証明

整数係数の 次方程式

が有理数解

を持つとする。ただし、 は自然数、 は整数とし、 と は互いに素とする（つまり既約分数になっている）。

このとき、元の方程式に代入して、

両辺に をかけて、

これを変形すると、

ここで、 と は互いに素なので共通の素因数を持たず、 〜 が整数であることも踏まえると、 より は の約数、 より は の約数であることが示される。

※整数問題で頻出の「積の形を作り出す」という考え方が活躍する！