内積の図形的意味

概要

なす角が のベクトル と の内積

が、 図形的に何を表しているかを考えてみる。いや、考えなくてもいいよという方は、ここで画面を変えよう。少しだけ変形すると、

という、 つの値の掛け算になっていることがわかる。では、 は図形的に何を表しているのだろうか？

これは、 の、 が定める直線上への正射影ベクトルの符号付き長さとなっている（なす角が鈍角のときは負の値になることに注意）。

正射影ベクトルとは、上から光を当てて、投影したようなベクトルのこと。

よって、 と の内積というのは、 の が定める直線上への正射影ベクトルの符号付き長さと、 の大きさの掛け算を表しているとわかる。

上では、内積の式を と変形したが、もちろん と変形しても同様で、 の大きさと、 の が定める直線上への正射影ベクトルの符号付き長さの掛け算、と捉えることもできる。

補足

「で、何が嬉しいの？」 と思う方も多いと思うが、定理の証明をするときなどに、この概念がとても役に立つことがある。例えば、このガチノビさんの極線の導出動画などが参考になる。鮮やかすぎて、鼻血が出そうになるかもしれない。ティッシュのご用意を。

正射影ベクトルは高校数学では発展的な事項であるが、もし正射影ベクトル自体を作れるようになりたい方は、この正射影ベクトルの辞書を確認しよう。