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エネルギー保存則


概要

運動エネルギー位置エネルギーの和を力学的エネルギーと呼び、物体が持つ力学的エネルギーの、ある時点からある時点までの間の変化は、その間に物体が受けた非保存力による仕事と等しい。

つまり、力学的エネルギー変化=非保存力の仕事、が成り立つ。

非保存力とは、保存力(ex. 重力や弾性力)ではない力のことで、摩擦力がとてもよく登場する。

保存力・非保存力の辞書はこちらから

例えば摩擦力の仕事は、摩擦熱つまり熱エネルギーとして放出されており、結局これも形が変わったエネルギーと捉えられるので、上の関係式は広く 「エネルギー保存則」 と言える。

これまでに学んだいろんな概念が登場して、力学のオールスター感謝祭みたいになっているが、理論的にも実践的にもとても大事な関係式。仲良くなっておこう。

これが理解できて、使えるようになれば、力学の前半戦の山場は超えることになるので、これまでの辞書も復習しながら何とか頑張ろう。

  • どの時点とどの時点を考えるのか
  • その間で物体に働く力は何か

をしっかりと確認するのがポイント。まずは例で確認し、余裕があれば導出までしっかり押さえよう。

非保存力の仕事が無い場合

【問】床から高さ のところから、質量 の小球を初速度 で鉛直下向きに落下させる。床に到達する直前の小球の速さを求めよ。

Untitled 1 P1.png

【答】落下させた時から、床に到達するまで、物体には重力(←保存力)しかはたらかない。よって、求める速さを とし、重力による位置エネルギーの基準点を床の高さにおくと、 時点の間のエネルギー保存則の式は

となり、これを解くと

と求められる。(「変化」と言われたら 必ず「後」ー「前」 で求める。物理の鉄則!)

このように非保存力の仕事が であれば、力学的エネルギーの変化 が成り立ち、この場合のエネルギー保存則を、特に 「力学的エネルギー保存則」 と呼ぶ。

非保存力の仕事がある場合

【問】水平面上に置かれたばね定数 のばねに質量 の小球を押し当て、自然長から だけ縮ませ、静かに小球を放した。図のように、ばねと離れてからはあらい面を転がり、止まった。あらい面の上を転がった距離を求めよ。(あらい面の小球との動摩擦係数は とし、あらい面を転がるまでは水平面は滑らかとする)

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【答】転がった距離を とおく。小球にはたらく垂直抗力は なので、小球にはたらく動摩擦力は進行方向と逆向きに となる。よって、物体が止まるまでの間に、非保存力である動摩擦力がする仕事は、

よって小球を放した時点と、物体が止まる時点の間のエネルギー保存則の式は、

となり、解くと

と求められる。

大事な補足として、小球には、重力や垂直抗力もはたらいているが、

  • 重力は保存力であるものの、進行方向に対して垂直な向きなので、仕事しないため、重力による位置エネルギーは考えなくて良い
  • 垂直抗力は非保存力であるものの、 進行方向に対して垂直な向きなので、仕事は0

なので、上のエネルギー保存則の式でOK。

補足

鋭い方は気づいたかもしれないが、上の例の つ目は等加速度直線運動の式からも求められる。つまり、

を解けば、同様に

を得る。 つ目も、単振動の分野を学習すれば、それで求めることもできる。どちらも、より広く言うと、運動方程式を立てれば位置や速度を時間の関数として直接求めて、時間変化を追っていくことができる。

では問題を解く上で、エネルギー保存則をはじめとする保存則を用いるメリットは何だろうか?それは、2つの時点の状態だけを考えて、物理量が求められるということ。(保存則とは、そもそも時点間で何かしらの物理量が保存されるという性質のこと)

運動方程式から、位置や速度などを時間の関数として完璧に求めるのが難しい運動でも、保存則を用いれば、ある時点での位置や速度の情報が求められるというのが、保存則のすごいところ!

導出

動画で学びたい!という方には、化学好きな東工大生・かずきさんの動画がオススメ。保存力の定義から始まり、数学的に深く学べる。

さて、位置 を速度 で通過した物体が、保存力と非保存力に仕事をされながら運動し、位置 を速度 で通過したとする。

位置エネルギーの基準点を とし、保存力が位置 から位置 までする仕事を 、非保存力のする仕事を とする。(保存力の仕事は経路によらないことに注意!なので始点と終点が決まれば、保存力の仕事も決まる。)

このとき、 「物体の運動エネルギーの変化は、その間に物体が受けた仕事に等しい」 という仕事と運動エネルギーの関係から、

が成り立つ。ここで、

なので、

となる(これを①とおく)。

ここで、基準点を としたときの位置 での位置エネルギーを 、位置 での位置エネルギーを とおくと、例えば は、保存力が から までする仕事を表すが、これは保存力とつり合う外力が から までする仕事と等しいので、位置エネルギーの定義から

同様にして、

が成り立つ。よって①の関係式は

となり、エネルギー保存則の式が導かれる。

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