係数比較

概要

「この等式が恒等式になるような、定数 を求めよ」 みたいな問題を、どこかで見たことがあるはず。

この考え方として、代表的なものに、

• 係数比較法
• 数値代入法

の2つがある。ここでは1つ目の係数比較法について学ぶ。これは、整式の等式が恒等式であるための必要十分条件が、「同じ次数の項の係数が一致すること」 であることを利用する方法。

日本語で聞いてもわからないと思うので、早速例で確認しよう。

例

【問】

が についての恒等式となるような、定数 の値を求めよ。

【解】

左辺を整理すると、等式は

となる。この等式が恒等式となるための必要十分条件は、係数が全て等しいことであり、

を得る。これらを連立して解けば、

となり、これが求める条件である。

証明（発展）

この係数比較法は直感的に理解しやすいので、ファンが多いが、「ほんとに必要十分条件なの？」ということを考えると、結構難しい。

係数が全て等しければ、どんな値を代入しても等式が成り立つはずなので、恒等式となることは理解できる。（つまり、係数が等しいことが十分条件であることはすぐわかる）

でも逆に、恒等式であれば必ず係数が等しくなることは、どうやって示せばいいのだろうか？

気になる方は以下読んでみよう。気にならない方は、下の補足を読んで、そっとこの辞書を閉じてOK。

【示すこと】

が恒等式ならば、 であること を示す。

※ 恒等式の両辺を片方に寄せて、その係数が全て であれば元の両辺の係数が全て等しい事になるので、 を示せばOK。

【証明】

背理法で示す。

となるような が 〜 の中に存在するとする。このような のうち、最も大きいものを とする。

このとき、等式は

と表される。

(i) のとき

等式 は

となるが、 なので、この式を満たす は存在せず、 が恒等式であるという前提に矛盾する。

(ii) のとき

であることにより は 次方程式となるので、等式を満たす は高々 個しか存在しない。よって、 が恒等式である、つまり無限個の について成り立つという前提に矛盾する。

以上 (i)(ii)より、 となるような が 〜 の中に存在するという背理法の仮定は誤りであり、 は示された。■

動画でわかりやすく学びたい方は、こちらの古賀真輝さんの授業動画を見てみよう。係数比較法が成り立たない世界も知ることができて、とても面白いです！

補足

上の例題を 数値代入法 で解いてみる。

等式の両辺に を代入すると（代入して計算が楽そうな値を選んでいる！）、

となるので、これを変形して

を得る。

これらを等式の左辺に代入すると、左辺は となるので、確かに等式は恒等式となる。よって上記の解は必要十分条件となる。（この十分性の確認についての詳しい話は、数値代入法の辞書を見てみてほしい）