## 概要

同じものが $p$ 個、$q$ 個、$r$ 個ずつ、全部で $n$ 個あるとき、全てを並べる順列の総数は、

$$\frac{n!}{p! \ q! \ r!}$$

通りとなる。（ただし、$n=p+q+r$）

ここでは3種類で考えているが、**何種類でも使える。** 下の例を確認しよう。

これは、覚えるよりもイメージを持っておくことで、応用問題にも対応できるようになるので、下の解説まで確認しよう。

## 例

【問1】アルファベット **A, A, B, B, C** が書かれた5枚のカードがある。これらを並べる総数を求めよ。

【答1】

$$\frac{5!}{2! \ 2! \ 1!}=\frac{120}{4}=30 \ \text{通り}$$

と求められる。

【問2】アルファベット **A, A, B, B, C, C, D, D** が書かれた8枚のカードがある。これらを並べる総数を求めよ。

【答2】

$$\frac{8!}{2! \ 2! \ 2! \ 2!}=2520 \ \text{通り}$$

と求められる。$8!$ を計算するのはめんどくさいので、書き下して約分していこう。

![Untitled 1 P1 222.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/Wx29ILXe9r8Q7/02789dec065349808ca50b5daa00737f.png)

## 解説

なんで $p! \ q! \ r!$ で割らないといけないんだ！びっくりマーク付きすぎじゃね？という方もいると思うので、下のイメージを持っておくようにしよう。

例えば、上の例1で考えよう。

アルファベット **A, A, B, B, C** が書かれた5枚のカードを並べるとき、例えば一つの並べ方として、

- A, A, B, B, C $\cdots$①

がある。**これで1通り。**

ここで、
- 2枚のAが、**異なるカードA1, A2に**
- 2枚のAが、**異なるカードB1, B2に**

変わったとすると、

- A1, A2の並べ方が **$2!$ 通り**
- B1, B2の並べ方が **$2!$ 通り**

あるので、①の1つの並べ方から、

- A1, A2, B1, B2, C
- A2, A1, B1, B2, C
- A1, A2, B2, B1, C
- A2, A1, B2, B1, C
 
と、並べ方が4通りに増える。この4通りというのは、つまり、A1, A2の並べ方、B1, B2の並べ方を掛けた、

$$2!\times 2!=4$$

で求められる。そして、この4通りというのは、A, A, B, B, Cが特別だったからではなく、**他の並べ方でも同様に4通りずつに増える。**

![Untitled 1 P1 224.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/Wx29ILXe9r8Q7/865835f3a70a4a5bbf9d21586a1b8c99.png)

そこで、**A1, A2, B1, B2, C**の5枚のカードを並べるとすると、この場合は全てのカードが違うので、誰もが知っている通り、並べ方は

$$5!=120 \ \text{通り}$$

となる。

よって、元の**A, A, B, B, C**の5枚のカードの並べ方は、

$$\frac{5!}{2! \ 2!}=\frac{120}{4}=30 \ \text{通り}$$

と求められる。

![Untitled 1 P1 227.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/Wx29ILXe9r8Q7/69d463fc47d8480d8703b879acd01aab.png)

つまり、**同じカードをもし違うカードと見たときに、1つの並べ方が何通りに増えるかを考えて、全て違うカードだった場合の並べ方の総数を、その重複する数で割って求めている。** このイメージを大事にしよう！

同じものを含む順列

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