重心公式

概要

点 が頂点の三角形の重心 の位置ベクトルは

で表される（平面、空間どちらでも成り立つ）。足して で割るだけという、高校数学の公式の中でも、だいぶ頭に優しい式。

位置ベクトルなので、基準の点 はどこでもOK。下では原点として話を進める。（位置ベクトル、なんじゃそら？という方は、こちらの辞書で確認）

証明

の中点 の位置ベクトルは、分点公式（分点公式の辞書はこちら）より

と表される。三角形 の重心 は、 を に内分することから、分点公式より

となって示される。平面で書いてるが、空間でも上の式は全く同様に成り立つ。

補足

よく出てくるが、直感的にも思い出しやすい公式。せっかくなので、 成分での計算にも慣れておこう。

3点 を頂点とする三角形の重心の座標は

で表される。 座標、 座標、それぞれ仲良く平均を取ればOK。空間座標の場合は、 座標も平均をとればOK。

また、この重心公式は複素数平面でも使える（数学III）。つまり、複素数平面上の 点を とすると、複素数平面上の三角形 の重心に対応する複素数は、

で求められる。