重心公式

概要

$3$ 点 $\mathrm {A},\mathrm {B},\mathrm {C}$ が頂点の三角形の重心 $\mathrm {G}$ の位置ベクトルは

$$\overrightarrow {OG} = \frac{\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}}{3}$$

で表される（平面、空間どちらでも成り立つ）。足して $3$ で割るだけという、高校数学の公式の中でも、だいぶ頭に優しい式。

位置ベクトルなので、基準の点 $O$ はどこでもOK。下では原点として話を進める。（位置ベクトル、なんじゃそら？という方は、こちらの辞書で確認）

証明

$BC$ の中点 $M$ の位置ベクトルは、分点公式（分点公式の辞書はこちら）より

$$\overrightarrow {OM} = \frac{\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}}{2}$$

と表される。三角形 $ABC$ の重心 $G$ は、$AM$ を $2:1$ に内分することから、分点公式より

$$\begin{align} \overrightarrow {OG} &= \frac{\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OM}}{2}\\\\ &=\frac{\overrightarrow {OA}+ 2\times\frac{\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}}{2}}{2+1}\\\\ &=\frac{\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}}{3} \end{align}$$

となって示される。平面で書いてるが、空間でも上の式は全く同様に成り立つ。

補足

よく出てくるが、直感的にも思い出しやすい公式。せっかくなので、 成分での計算にも慣れておこう。

3点 $A\left(x_{1},y_{1}\right),\mathrm {B} \left(x_{2},y_{2}\right),\mathrm {C} \left(x_{3},y_{3}\right)$ を頂点とする三角形の重心の座標は

$$\left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)$$

で表される。$x$ 座標、$y$ 座標、それぞれ仲良く平均を取ればOK。空間座標の場合は、$z$ 座標も平均をとればOK。

また、この重心公式は複素数平面でも使える（数学III）。つまり、複素数平面上の $3$ 点を $A(z_a),B(z_b),C(z_c)$ とすると、複素数平面上の三角形 $ABC$ の重心に対応する複素数は、

$$\frac{z_a+z_b+z_c}{3}$$

で求められる。