二次曲線の極方程式

概要

という形の極方程式は、 の値によってさまざまな形の二次曲線を表す。

この は実は離心率で、上の極方程式の分類は離心率による分類と同じく

• ：楕円
• ：放物線
• ：双曲線

となる。

説明

まず、ある定点 をとり、 を通らない定直線 を考えて、 と からの距離の比が であるような点 の軌跡を考えると、

• ：楕円
• ：放物線
• ：双曲線

を表す。この のことを離心率という。

ここで、今回考えている極方程式 を変形してみる。

この式をグラフ上で捉えると、

となるので、極方程式 が描く図形は、上の離心率の定義において 定点 を 、 を としたときの点 の軌跡に含まれることがわかる。

（ここでは点 が第1象限にあるとして図を書いているが、どの象限にあっても同様）

よって、極方程式 が離心率 と同じ分類によってさまざまな二次曲線を表すことが納得できる。

補足

極方程式

についても、

と変形できるので、 が表すグラフを原点に関して対称に移動（ 回転） させたグラフとなって、同様に二次関数を表すことになる。

また、 の場合、つまり双曲線の場合の細かい話として、離心率の定義からは双曲線の両側の軌跡が導かれるものの、極方程式 は で考えた場合には双曲線の片側の軌跡のみを表す事になる。

一方で、極方程式では負の を認める考え方（教科書にも記載あり）もあり、その定義に従うと、極方程式 は双曲線の両側を表すことになる。

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