実効値

概要

周期的に向きと大きさが変化する電流や電圧を交流という。

交流であっても、瞬間瞬間では消費電力の式やオームの法則は成り立つ。

ただ、電圧や電流が時刻によって値が変わると、「電圧や電流はだいたいこれくらい」みたいな表し方が難しくなる。この代表値をどうするかを考えたときに出てきたのが実効値である。

結論から言うと、電圧や電流の最大値をで割った値を実効値として定義すると、平均消費電力やオームの法則を直流の時と同じように考えられるので嬉しい。

順を追って見ていこう。

交流電圧を例えば

とし、抵抗値をとすると、電流はオームの法則より

となる。電流の最大値をとおくと、となり、

と表せる。

瞬間の消費電力は、定義から

であるが、時刻によって値が一定ではないので、代わりに平均消費電力というものを考える。

これは、1周期の間での電力量を求めて、周期で割って時間平均したもの。

少し数学的に示してみるので、アレルギーの方は証明は飛ばして結論だけ押さえておこう。まず電力量は、

と求められる。

※ 半角の公式 / 三角関数の積分の知識や、周期についてであることを用いた。

よって、平均消費電力は、

と求められる。

そうすると、もし交流電圧や交流電流の代表値として最大値やをとってくると、上の平均消費電力の式から

$平均消費電力$

なので、「電力＝電流×電圧」という関係が成り立たなくなり不便である。

そこで、最大値をで割った値を実効値としてやを定義すると、

が成り立つので、

$平均消費電力$

となり、平均消費電力が、実効値で表した電流と電圧の積となるのでとても嬉しい。

このとき、実効値で表した電流と電圧を用いて、オームの法則も成り立つので確認しよう。

このように、実効値だといろいろと考えやすいので、時刻によって値が変わってしまう交流電圧や交流電流の代表値として、実効値はぴったりなのである。

では、そもそもで割るのはどこから出てきたのだろうか？これも実は数学的に示すことができる。

実効値とは、2乗した値を1周期分足し合わせ、周期で割り、単位を揃えるために平方根をとったものである。ちょうど、偏差を2乗して足し合わせ、データの個数で割った分散から、単位をそろえるために平方根をとった標準偏差のコンセプトと同じ。

例えば電流について、

ここで、上の平均消費電力の式で考えた通り、

なので、

と確かにが出てくることが理解できる。

この実効値というのは、日常生活にもよく登場する。家庭用電源の電圧には100Vと200Vがあり、実はこれは実効値の値を示している。なので、最大値はその倍くらい大きい。

ちなみに、200Vのコンセントは、リビングのエアコンや、冷蔵庫、食器洗い乾燥機など、大きめの家電に使われることが多い。コンセントの形も特殊なので、間違うことはほぼないが、もしここに、通常の100V用の家電の電源を差し込むと、電圧が強すぎて壊れるので要注意。

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