2直線の垂直条件

概要

一般形で表した 直線

が垂直であるための必要十分条件は、

が成り立つことである。（垂直条件とか直交条件とかいう。ちなみにスマホだと、「直行」条件と変換されやすい。あるある〜。）

例

直線

が垂直であるときの の値を求めると、

となる。

証明

本格的に式で証明しようとすると、文字で割る際に場合分けが発生するが、ここでは、 と は では無いとして、 イメージだけ解説する。（気持ち悪くて、詳しく証明を確認したい方は、例えば、ぶおとこばってん氏の「良問演習 #52 直交条件」の動画で確認できる）

つの直線を

とおくと、 と は では無いとの仮定のもとで、

と変形できる。これらの つの直線が垂直であるとは、つまり傾きの積が なので、

となる。その他、ベクトルの内積を使ってうまく証明する方法もある。（例えば、AKITO氏の「受験数学 #88」など）

補足

覚えるとなると、平行条件の式と頭がこんがらがるので、上の簡略版証明で作れればOK！

また、中学の時に学んだ

という直線の形だと、 という形の 軸に垂直な直線を表わせないので、高校では上のように、 にも係数を付けた直線の一般形というものが、満を持して登場することになった。