閉管の固有振動数

概要

一端が閉じた管を閉管という。プリングルスの筒みたいなイメージ。閉じた方を閉端、開いている方を開端と呼ぶ。両方が開いている管を開管と呼び、それについては、こちらの開管の辞書を確認しよう。

弦の固有振動のときと同じように、気柱である閉管に、閉端が節になり、開端が腹になる定常波を作ったときの、振動数について考えよう。

※開端では、外側の空気と接している部分の空気が動きやすく、定常波の腹になる（現実には、両端よりもう少し外側の部分が腹になる。後ほど補足）。

このような定常波が作られるような波の振動数は、どんな値でもいいわけではなく、 を開管の長さ、 を音の速さとして、次のようなとびとびの形となる。

これを、閉管の固有振動数という。 は奇数の値だけとることに注意。

また、弦の場合と異なり、波を伝える媒質は空気となるので、音速 を用いる点に注意。

導出

ここでは上の、

を導いてみよう。まず、音の速さは一定なので、波の基本式

により、波長 が大きいほど振動数 は小さくなることがわかる。

では、一番小さい固有振動数はどのような場合かというと、波長が一番長いときで、こんな振動になるはず。

このとき、左右に折り返すとわかる通り、半波長が となるので、波長は になる。

よって、このときの固有振動数は、

となり、この振動を、最小の固有振動数を持つ振動という意味で、基本振動という。

その次に大きい固有振動数のときは、このような波形になる。

このとき、 が、 分の 波長 と等しいので、波長は、

と求められる。

よって、このときの固有振動数は、

となり、基本振動のときの振動数の 倍となる。なので、この振動を 倍振動という。開管と違って、「 倍振動」が無いので注意。以下同様に、 倍振動、 倍振動、... というように奇数の数字で増えていく。

では、 として、一般的な 倍振動の固有振動数を求めよう。

このとき、上の黄色のブロックが 個できる（わからなければ、 や のときで確かめよう）ので、 つのブロックの長さが となり、これが 分の 波長 と等しいので、

と求められる。よって、振動数は、

と求められる。ただし、 ととびとびの値をとることに注意。

補足

現実には、開端ピッタリが定常波の腹になるわけではなく、ちょびっとはみ出たところが腹になる。例えば基本振動を考えると、

こんな感じで、管の両端から少し離れたところに腹がくることになり、なので、波長を求める上で、管の長さに加えて少し補正をしてあげる必要がある。これを開口端補正という。

補正分を とすると、基本振動のときの波長は、 となるので、振動数は、

となる。