フェルマーの最終定理

概要

を 以上の整数とするとき、

を満たす正の整数 は存在しない。これをフェルマーの最終定理という。

のときは中学校で学ぶ三平方の定理の形になっており、その解 は無数にあることが知られている（この解をピタゴラス数という）。

なのに、 になると1個も解が存在しなくなる、という面白い定理。

エピソード

泣く子も黙るフェルマーの最終定理だが、なぜこんなに有名なのか考察してみよう。

• 中学生でも理解できる内容の定理なのに、証明されるのに約360年かかった
• 1995年にアンドリュー・ワイルズが証明するまでの数学者のドラマが面白い（詳しくは中田敦彦さんの動画や、サイモン・シンさんの本を見てみよう）
• フェルマー自身が、この内容とともに「この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」と書き残していて、世界中の数学者の心をくすぐった
• 整数論の世界に「フェルマーの小定理」という有名な定理があって、とてもすごい定理なのに、この最終定理があることによって名前に「小」がつけられて可哀想

などなど、関連エピソードが多いことが要因として挙げられる。

※ フェルマーの最終定理は、1995年に最先端の数学理論をフル活用して証明されたので、フェルマーさんが17世紀に「真に驚くべき証明」を見つけていたのかは誰にもわからない。

※ このエピソードを知ると、テストの証明問題で必ず一度は「この問題に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この解答用紙は狭すぎる」と書きたくなる衝動に駆られる。

ABC予想

実はABC予想というものを用いると、 の場合でフェルマーの最終定理が簡単に示されるので、それを紹介する。まずはABC予想の概要について学んでみよう。（ここでは 「強いABC予想」 を紹介する（注1, 2））

を満たす、互いに素な正の整数の組 に対し、

とする。このとき、

が常に成り立つ。これを「強いABC予想」という。

という見慣れないものが登場しているが、この定義は、正の整数 に対して、 の互いに異なる素因数の積を の根基（radical）と呼び、 と書くというもの。

例えば、

とすると、

となるので、確かに

となり、強いABC予想が成り立っていることがわかる。

（注1）先日、京大の望月教授によりついにABC予想が示されたが、望月教授の「宇宙際タイヒミュラー理論」によって示されたのは「弱いABC予想」というものであって、上の形とは少し違うので注意（「弱い」と書いてあるが、「宇宙際タイヒミュラー理論」は数学的な全く新しい理論で、査読に8年もかかったとんでもなく強い理論。理解できる数学者が世界に10人くらいしかいないとか...）。ちなみに「強いABC予想」はまだ証明されていない。

（注2）「弱いABC予想」についてはいろんな方が解説・紹介動画を出されているので、このokedouのリンク先で見てみよう。

ABC予想を用いた証明

では、上の予想を用いて、 の場合（注3）でフェルマーの最終定理を示そう。

背理法で示す。

ある互いに素（注4）な正の整数の組 が存在して、正の整数 に対し

を満たすとすると、 も互いに素となるので、上のABC予想より、

を得る。ここで の定義を用いると、

よって、

となるが、 に矛盾する。よって、 に対して、

を満たす正の整数 は存在しない。

（注3） の場合に解が存在しないことは、実は別ですでに証明されている。 は無限降下法という方法で証明できて、高校生でも理解できる証明なので、興味のある方は、このヨビノリさんの動画で学ぼう。

（注4）背理法の仮定で、互いに素でない解を持つとすると、その共通の素因数 を使って両辺を で割っていくことで、結局互いに素な解も持つことがわかる。この対偶を考えると「互いに素な解の組が存在しない ⇒ 正の整数の解の組が存在しない」となるので、ここでは互いに素な解の組の存在を仮定して考えればOK。

補足

Creepy Nutsの「かつて天才だった俺たちへ」という曲で、「頭が悪いとか　思わなけりゃ　きっとフェルマーの定理さえ解けた」という歌詞があるが、おそらくこのフェルマーの最終定理を示しているものと思われる。

が、360年もの間、幾多の天才数学者を弾いてきた定理なので、そう簡単ではない。