## 概要

**3乗の展開（複号同順）**

$$
(a\pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3
$$

**3乗の和と差の因数分解（複号同順）**

$$
 a^3 \pm b^3 = (a\pm b)(a^2 \mp ab + b^2)
$$

**複合同順**とは、符号が違うだけの $2$ つ式をわざわざ書くのがめんどくさいときに、$1$ つの式に合体させて、出てくる $\pm$ の上下をそろえて読んでねという意味の、サボり屋のための四文字熟語。

**3文字の3乗の因数分解**

$$
\begin{align} 
&a^3+b^3+c^3-3abc\\\\
=&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
\end{align} 
$$

## 例題

【問】$x^3+y^3-3xy+1$ を因数分解せよ。

【答】因数分解せよ、という上から目線への怒りは置いておいて、このように式を少し変形すると、上の公式が使えることがわかる。

$$
\begin{align}
&x^3+y^3-3xy+1\\\\
=&x^3+y^3+1^3-3\times x\times y\times 1\\\\
=&(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)\\\\
=&(x+y+1)(x^2+y^2-xy-x-y+1)
\end{align}
$$

定期テストなどではこういう隠しキャラも多いので、気をつけよう。

## 証明

最後の式を証明する。まずは $3$ 乗の展開公式を変形すると、以下の式が成り立つ。（$3$ 乗の和の因数分解をしたくなるのを、グッとこらえる）

$$
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
$$

これを使うと、

$$
\begin{align}
&a^3+b^3+c^3-3abc\\\\
=&(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\\\
=&(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)\\\\
=&(a+b+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)\\\\
&-3ab(a+b+c) (*)\\\\
=&(a+b+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab)\\\\
=&(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)\\\\
=&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
\end{align}
$$

となる。(*)への変形は、$(a+b)^3+c^3$ に $3$ 乗の和の因数分解の式を使った。

### 補足

- 符号に注意
- 符号を忘れたら、 **展開してみて一致するか確かめると確実**
- $3$ 乗とは関係ないけれど、おまけで **$3$ 文字の $2$ 乗公式**：

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

3乗公式

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