## 概要

$\overrightarrow{a}$ を、$\overrightarrow{b}$ が定める直線に正射影したベクトルは、

$$\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b}$$

で表される。上から光を当てて、$\overrightarrow{a}$ を $\overrightarrow{b}$ が定める直線に投影したようなベクトルのこと。

![Untitled P1 127.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/33Qejvn0xy7jQ/8745d4ce483141fe982fc050fc33e70c.png)

これは高校数学では発展的な事項であり、この式は覚えるよりも、**下の図と導き方のイメージを理解して、作れるようになれれば十分**。下の補足も確認しよう。

## 証明

$\overrightarrow{b}$ と同じ向きの[単位ベクトル](https://dic.okedou.app/words/p/Dmb8pl09aR43r) $\overrightarrow{e_b}$ は、

$$\overrightarrow{e_b}=\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$$

で求められる。ここで、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{e_b}$ の内積を考える。$2$ つのベクトルのなす角を $\theta$ とおく。単位ベクトルの長さは $1$ なので、内積は

$$
\begin{align}
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_b}&=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{e_b}|\cos\theta\\\\
&=|\overrightarrow{a}|\cos\theta
\end{align}
$$

という値になり、これは、**正射影ベクトルの符号付き長さ**となっている（なす角が鈍角のときは負の値になる）。

![Untitled P1 126.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/33Qejvn0xy7jQ/0be37c9200274dc0ad2f56b175f4c61f.png)

よって、この値を単位ベクトル $\overrightarrow{e_b}$ をかけると、正射影ベクトルを求めることができ、

$$
\begin{align}
(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_b})\overrightarrow{e_b}&=\left(\overrightarrow{a}\cdot\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\right)\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\\\\
&=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b}
\end{align}
$$

となって導かれる。

### 補足
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ や $|\overrightarrow{b}|^2$ はベクトルではなく**単なる値**なので、この正射影ベクトルの式は、$k\overrightarrow{b}$ という形になっていて、 **$\overrightarrow{b}$ と平行**という認識が大事。

「で、何が嬉しいの？」と思う方も多いと思うが、難関大の問題や定理の証明などに、この概念がとても役に立つことがある。例えば、[こちらのガチノビさんの点と直線の距離の導出動画](https://okedou.app/videos/GyVsfvj2eNM)がとても鮮やかで参考になるので見てみよう。（下の関連動画から、正射影ベクトルの入試問題への応用方法も学べる）

正射影ベクトル

概要

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補足

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